一、直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，在本章中，直观想象主要体现在利用空间几何体判断点、线、面的位置关系中. 培优一 空间中点、线、面的位置关系 【例1】 （1）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（ ） A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 （2）（多选）已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m.则下面结论正确的是（ ） A.m⊥β B.l⊥α C.β⊥γ D.α⊥β 尝试解答 二、逻辑推理 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，逻辑推理主要体现在线、面位置关系的证明中. 培优二 空间中的平行与垂直 【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥底面ABCD； （2）BE∥平面PAD； （3）平面BEF⊥平面PCD. 尝试解答 【例3】 （2023·全国甲卷文18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 尝试解答 三、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.数学运算是数学活动的基本形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，数学运算主要表现在计算空间几何体的体积、表面积及空间角等问题中. 培优三 柱体、锥体、台体的表面积和体积 【例4】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A.2π B.3π C.6π D.9π （2）（2023·全国甲卷文10题）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ） A.1 B. C.2 D.3 （3）（多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是（ ） A.圆柱的侧面积为2π B.圆柱的侧面积为6π C.圆柱的表面积为6π＋12π D.圆柱的表面积为2π＋6π 尝试解答 培优四 空间角的求法 【例5】 如图，正方体的棱长为1，B'C∩BC'＝O，求： （1）AO与A'C'所成角的大小； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 （1）A （2）BD 解析：（1）连接AD1（图略），则易得点M在AD1上，且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直.所以选项A正确.故选A. （2）如图，∵α⊥γ，γ∩α＝m，l γ，l⊥m，∴l⊥α，又l β，∴α⊥β.而γ⊥β不一定成立，故m⊥β，β⊥γ不一定成立. 【例2】 证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD. （2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BE∥AD. 又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD， 所以BE∥平面PAD. （3）因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥底面ABCD， 所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE ... ...
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