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课件网) 知识点 函数的奇偶性 知识 清单破 3.1.3 函数的奇偶性 1.概念 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x, 都有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 2.图象特征 (1)奇函数 图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. (2)偶函数 图象是以y轴为对称轴的轴对称图形. 1.f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. ( ) 2.若f(x)为奇函数,则f(0)=0. ( ) 3.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(|x|).( ) 4.函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数. ( ) 5.若偶函数的图象不过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数. ( ) 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” . √ √ 6.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. ( ) 提示 存在,如f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数. 7.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( ) 提示 函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数. 疑难 情境破 疑难 1 如何判断函数的奇偶性 讲解分析 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: (2)图象法: 2.分段函数奇偶性的判断 判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化.若函数 在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶性时,必须判断每一段上函数是否都具 有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数图象结合对称性判断. 3.函数奇偶性的运算性质 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,在它们的公共定义域上,一般具有下列结论: f(x) g(x) f(x)+ g(x) f(x)- g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集. 典例 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=|x-2|+|x+2|; (3)f(x)= 思路点拨 先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再判断f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论. 解析 (1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0, ∴x≠0,且x≠-4, ∴函数f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1,且x≠0}, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0, ∴f(x)= = , ∵f(-x)= =- =-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称. ∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x), ∴函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数. (3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x); 当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x). 综上可知,函数f(x)= 是偶函数. 方法技巧 判断函数的奇偶性时,如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难,可以研究其等 价形式,即判断f(x)±f(-x)是不是0或 (f(x)≠0)是不是±1. 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用 的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. 1.由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义域中含 参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数;若函数是奇函数,0在其 定义域内,也可以用f(0)=0求解,注意求得的结果需代入检验. 2.由函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值时,注意应用性质f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数为f(x)= 奇函数+c(c为常数),则可以利用f(a)+f(-a)=2c求解. 疑难 2 函数奇偶性的应用 讲解分析 3.利用函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 (1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间; ( ... ...
