1.1 拓 视 野　向量概念的推广（课件 学案）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第一册

向量概念的推广 我们已经知道，（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得｜a｜； （2）平面向量a可以用含两个实数的有序实数对（x，y）表示，即a＝（x，y），（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜； （3）空间向量a可用含三个实数的有序实数组（x，y，z）表示，即a＝（x，y，z），（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜. 【问题探究】 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维空间，a＝（a1，a2，…，an ）. 对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn）， 那么a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）， λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R， a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， ｜a｜＝， n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距离｜AB｜＝ . 【迁移应用】 　设a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）（n∈N且n≥2），规定向量a与b夹角θ的余弦为cos θ＝.当a＝（1，1，1，1，…，1），b＝（－1，－1，1，1，…，1）时，cos θ＝（　　） A.　　 B. C. D. 1.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），则3a＋b＝（　　） A.（－2，－3，－2） B.（2，3，2） C.（－2，3，2） D.（4，3，2） 2.在空间直角坐标系中，点P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（　　） A.（－1，3，－5） B.（1，3，5） C.（1，－3，5） D.（－1，－3，5） 3.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为（　　） A.3　　 B. C.2　　 D. 4.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2）且（a＋2b）∥（2a－b），则x＝　　　　，y＝　　　　. 5.已知空间三点A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是　　　　. 拓视野　向量概念的推广 迁移应用 　D　因为a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）， aibi＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝1×（－1）＋1×（－1）＋1×1＋…＋1×1＝n－4， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n，所以cos θ＝＝，故选D. 随堂检测 1.B　3a＋b＝3（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（3，3，0）＋（－1，0，2）＝（2，3，2）. 2.B　P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标为（1，3，5）. 3.B　由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系（图略），则E（0，0，6），B（6，6，0），M（6，0，4），O（3，3，3），所以｜｜＝＝，即线段OM的长为，故选B. 4.　－4　解析：由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）. ∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b）， ∴解得 5.120°　解析：由于＝（－2，－1，3），＝（－1，3，－2）， 所以·＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）＝－7，｜｜＝，｜｜＝， 所以cos θ＝cos＜，＞＝＝－，则θ＝120°. 2 / 2(课件网) 拓 视 野　向 ... ...