1.2 拓 视 野　立体几何中的翻折问题（课件 学案）高中数学人教B版（2019）选择性必修 第一册

立体几何中的翻折问题 如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小. 【问题探究】 　此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形有以下规律： 确定翻折前后变与不变的关 系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 【迁移应用】 1.写出上述问题的解答. 2.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图②. （1）求证：BC⊥平面DEC； （2）求二面角C-BF-E的余弦值. 1.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞＝，则二面角A-BD-C的大小为（　　） A.　　 B. C.或 D.或 2.如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点（不同于A，B），且PA＝AC，则二面角P-BC-A的平面角为（　　） A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB 3.在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 4.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.B1的坐标为（2，2，3） B.＝（－2，0，3） C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为 5.已知P为锐二面角α-l-β内一点，且P到面α，β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为　　　　. 拓视野　立体几何中的翻折问题 迁移应用 1.解：如图，以OB，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz. 设原正方形的边长为1，则E（0，－，），F， cos＜，＞＝＝－＝－，∴∠EOF＝120°. 2.解：（1）证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E， ∴DE⊥平面ABCE， 又∵BC 平面ABCE，∴DE⊥BC， 又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC. （2）如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz， ∴E（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0）， D（0，0，2），A（2，0，0），F（1，0，1）， 设平面EFB的法向量n1＝（x1，y1，z1）， 由＝（1，0，1），＝（2，2，0）， ∴ ∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝（1，－1，－1）， 设平面BCF的一个法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 由＝（1，－2，1），＝（2，0，0）， ∴ 取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝（0，1，2）， 设二面角C-BF-E的大小为α，由图可知，α为锐角， 则cos α＝＝＝. 故二面角C-BF-E的余弦值为. 随堂检测 1.C　当二面角A-BD-C为锐角时，它等于＜n1，n2＞＝.当二面角A-BD-C为钝角时，它等于π－＜n1，n2＞＝π－＝. 2.C　∵C是圆上一点（不同于A，B），AB是圆的直径，∴AC⊥BC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，即BC⊥面PAC，而PC 面PAC，∴BC⊥PC，又面ABC∩面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定义∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C. 3.B　由A-BCD为正四面体知：记E为CD中点，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD而AE∩BE＝E，∴CD⊥面ABE，即有∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四 ... ...