5.5 数学归纳法 1.用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（ ） A.a1＋（k－1）d B. C.ka1＋d D.（k＋1）a1＋d 2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－（n≥2，n∈N＋）时，第一步应验证不等式（ ） A.1＋＜2－ B.1＋＋＜2－ C.1＋＜2－ D.1＋＋＜2－ 3.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N＋）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（ ） A.3k－1 B.3k＋1 C.8k D.9k 4.若k（k≥3，k∈N＋）棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f（k＋1）为（ ） A.f（k）＋k－1 B.f（k）＋k＋1 C.f（k）＋k D.f（k）＋k－2 5.用数学归纳法证明“＋＋…＋＞”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是（ ） A.增加一项 B.增加和两项 C.增加和两项，同时减少一项 D.以上结论都不正确 6.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为（ ） A.a＝，b＝c＝ B.a＝b＝c＝ C.a＝0，b＝c＝ D.不存在这样的a，b，c 7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1（k∈N＋）命题为真时，进而需证n＝ 时，命题亦真. 8.用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为 ，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是 . 9.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分，则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f（k＋1）＝f（k）＋ . 10.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N＋）.求证：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N＋）. 11.如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈.然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度Ln为（ ） A.（3n2＋n）π B.（3n2－n＋1）π C. D. 12.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N＋）. （1）计算a2，a3，a4； （2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明. 13.已知f（n）＝1＋＋＋＋…＋，g（n）＝－，n∈N＋. （1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小； （2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明. 14.对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝ . 15.已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N＋）且点P1的坐标为（1，－1）. （1）求过点P1，P2的直线l的方程； （2）试用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，点Pn都在（1）中的直线l上. 5.5 数学归纳法 1.C 假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 2.A 因为n≥2，所以第一步应验证当n＝2时，1＋＜2－. 3.C 因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 4.A 三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面（0＋2＝0＋（3－1））；五棱柱有5个对角面（2＋3＝2＋（4－1））；六棱柱有9个对角面；（5＋4＝5＋（5－1））.猜想：若k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱有f（k）＋k－1个对角面.故选A. 5.C 当n＝k时，左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项. 6.A 令n＝1，2，3， 得 即 解得a＝，b＝，c＝. 7.2k＋1 解析：∵n为正奇数，且 ... ...
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