一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础. 在本章中，数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求和等问题中. 培优一 等差、等比数列的基本运算 1.在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d（或q），n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程（或方程组）求出另外2个量的值. 2.数列可以看作是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数.运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有着密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题. 【例1】 （1）（2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（ ） A.120 B.85 C.－85 D.－120 （2）（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ . 尝试解答 培优二 数列通项公式的求法 1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目. 2.已知Sn求an：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列的通项公式an可用公式an＝求解. 3.由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 4.待定系数法（构造法）：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推公式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法. 【例2】 （2023·新高考Ⅰ卷20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 尝试解答 培优三 数列求和 一般常见的求和方法有： （1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）； （2）分组求和法； （3）错位相减法； （4）倒序相加法； （5）裂项相消法（把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和）； （6）并项求和法（一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解）. 【例3】 （2023·全国甲卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 尝试解答 二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质. 在本章中，逻辑推理主要体现在等差（比）数列的判断与证明及数学归纳法的应用问题中. 培优四 等差、等比数列的判断与证明 【例4】 记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. （1）证明：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 尝试解答 培优五 数学归纳法 【例5】 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. （1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； （2）证明通项公式的正确性. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 （1）C （2）95 解析：（1）法一 设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满 ... ...
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