9.3 培优课　平面向量中的最值（范围）问题（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

平面向量中的最值（范围）问题 题型一 向量线性运算中的最值（范围）问题 【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是（　　） A.［－，0］ B.［－2，］ C.［－，0］ D.[－1，1] 通性通法 　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）. 【跟踪训练】 　（2024·盐城月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为　　　　. 题型二 向量数量积的最值（范围）问题 【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为　　　　. 通性通法 　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也可以利用图形直观求解. 【跟踪训练】 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为　　　　. 题型三 向量模的最值（范围）问题 【例3】　已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为　　　　. 通性通法 　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解. 【跟踪训练】 已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　　　. 题型四 向量夹角的最值（范围）问题 【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为　　　　. 通性通法 　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值（范围）问题. 【跟踪训练】 （2024·徐州月考）已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　） A. B. C. D. 1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.（0，＋∞） C.[2，4） D.（2，4） 2.已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（　　） A.5　　　B.5 C.3　　　D. 3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.9 4.（2024·南通月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是　　　　. 培优课　平面向量中的最值（范围）问题 【典型例题·精研析】 【例1】　C　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由A，B，D三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－（x2＋2x），∴λμ∈［－，0］. 跟踪训练 　　解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n（－）＝（m－n）＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1（m，n＞0），所以＋＝（＋）（m＋n）＝＋＋≥＋2＝＋＝（当且仅当3n2＝4m2时，取等号），即＋的最小值为. 【例2】　9　解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴＝（4，－3），设＝λ（λ∈[0，1]），则＝＋＝＋λ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]，∴·（－）＝·＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴·（－）的最大值为9. 跟踪训练 　　解析：根据题意，可知·＝（＋ ... ...