专题训练四 全等三角形的应用 与线段有关的计算与推理 1.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF. 求证:CB=CD. 与角有关的计算与推理 2.(2025遵化期中)如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于点P. (1)求证:PC=PB. (2)求证:∠CAP=∠BAP. (3)由(2)的结论,你能设计一种画角的平分线的方法吗 利用全等三角形解决动点问题 3.(2025石家庄期末)如图,AB∥DE,AE与BD相交于点C,AC=EC,AB=8 cm.点P从点A出发,沿A→B→A方向以3 cm/s的速度运动,同时点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,当点P回到点A时,P,Q两点同时停止运动. (1)DE的长为 cm. (2)连接PQ,当线段PQ经过点C时,点P的运动时间为 s. 4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,点D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上以每秒a(a>0)个单位长度的速度由点C向点A运动.设运动时间为t s(0≤t≤3). (1)线段PC= (用含t的代数式表示). (2)若点P,Q的运动速度相等,t=1时,请你探究△BPD与△CQP是否全等,并说明理由. 全等三角形的实际应用 5.如图,为了测量B点到河对面的目标A的距离,在B点同侧选择了一点C,测得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M处立了标杆,使∠CBM=75°,∠MCB=35°,得到△MBC≌△ABC,所以测得MB的长就是A,B两点间的距离,这里判定△MBC≌△ABC的理由是 ( ) A.SAS B.AAA C.SSS D.ASA 6.如图,小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千,小明坐在秋千的起始位置A处,OA的延长线与地面垂直,垂足为F,他两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OF的水平距离BD,CE分别为1.6 m和2 m,∠BOC=90°,求小明到达点C时距离地面的高度. 7.(教材变式)如图,小刚站在河边的点A处,在河的对面(小刚的正北方向)的点B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向走了30步到达一棵树点C处,接着再向前走了30步到达点D处,然后他左转90°直行,当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置点E在一条直线上时,他共走了140步. (1)根据题意,画出示意图. (2)如果小刚一步大约为50 cm,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离. 8.(跨学科)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角γ等于入射角θ.这就是光的反射定律. 问题解决:如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处,点F到地面的高度CF=1.5 m,点A、点C到平面镜点B的距离相等.图中点A,B,C,D在同一条直线上.求灯泡到地面的高度AG. 图1 图2 【详解答案】 1.证明:如图,连接AC. ∵AE=AF,CE=CF,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF(SSS). ∴∠CAE=∠CAF. 又∵∠B=∠D=90°,CA=CA, ∴△ACB≌△ACD(AAS).∴CB=CD. 2.解:(1)证明:在△ADC和△AEB中, ∵ ∴△ADC≌△AEB(SAS), ∴∠C=∠B, ∵AB=AC,AD=AE, ∴AC-AE=AB-AD,即CE=BD. 在△EPC和△DPB中, , ∴△EPC≌△DPB(AAS), ∴PC=PB. (2)证明:在△ACP和△ABP中, ∵ ∴△ACP≌△ABP(SAS), ∴∠CAP=∠BAP. (3)在∠A的两边上分别截取AC=AB,AE=AD,再连接CD,BE,两线交于点P,再画射线AP即可. 3.(1)8 (2)2或4 解析:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠E, 在△ACB和△ECD中, ∴△ACB≌△ECD(ASA), ∴DE=AB=8 cm. (2)设点P的运动时间为t s,当线段PQ经过点C时,如图所示. 在△ACP和△ECQ中, ∴△ACP≌△ECQ(ASA), ∴AP=EQ, 当点P沿A→B方向运动时, AP=3t,DQ=t, ∴EQ=ED-DQ=8-t, ∴3t=8-t, 解得t=2; 当点P沿B→A方向运动时, AP=2AB-3t=16-3t,DQ=t, ∴EQ=ED-DQ=8-t, ∴16-3t=8-t, 解得t=4; 综上可知,t的值为2或 ... ...
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