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课件网) 4.1 指数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 第四章 指数函数与对数函数 学习单元6 指数 指数函数 [学习目标] 1.了解无理数指数幂的概念. 2.掌握无理数指数幂可以用有理数指数幂来逼近的思想方法. 3.掌握实数指数幂的运算性质. 知识点1 实数指数幂的运算 内容索引 知识点2 实际问题中的指数运算 课时作业 巩固提升 知识点3 实数指数幂的条件求值 课堂达标·素养提升 知识点4 实数指数幂等式的证明 知识点1 实数指数幂的运算 1.实数指数幂是一个 实数. 2.运算性质:对于任意实数r,s. (1)aras= (a>0,r,s∈R); (2)(ar)s= (a>0,r,s∈R); (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R). 确定的 ar+s ars arbr 计算下列各式: (1)×; [分析] 应用实数指数幂的运算性质求解. [解] (1)×=(22× =×= =25=32. 例1 (2)(+×. [分析] 应用实数指数幂的运算性质求解. [解] (2)(+×=52+21 =25+2=27. 关于无理数指数幂的运算 1.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同. 2.若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算. 思维提升 1.计算××的值. 解:原式=(22××(23=××2-2= =23=8. 跟踪训练 知识点2 实际问题中的指数运算 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 由题意,得第n次操作后溶液的浓度为,令<,验证可得n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 例2 4 指数运算在实际问题中的应用 在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时,常常用到指数运算,用来计算增减的次数、增减前后的数量等. 思维提升 2.如果在某种细菌培养过程中,细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个),那么经过1小时,一个这种细菌可以分裂成( ) A.16个 B.32个 C.64个 D.128个 经过1小时可分裂6次,可分裂成26=64(个). 跟踪训练 C 知识点3 实数指数幂的条件求值 解决指数幂的条件求值问题,关键是建立已知代数式和所求代数式之间的关系,进而运用实数指数幂的运算性质进行求解. 已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1; [分析] 观察已知代数式与所求代数式之间的关系,通过代数恒等变形解题. [解] (1)将+=3的两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. 例3 (2). [分析] 观察已知代数式与所求代数式之间的关系,通过代数恒等变形解题. [解] (2)==a+a-1+1=8. 利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. 思维提升 3.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,且a>b>0,求的值. 解:由根与系数的关系,得a+b=6,ab=4,因而()2+2+()2=10,即+=. 同理()2-2+()2=2,即-=. 则=. 跟踪训练 知识点4 实数指数幂等式的证明 对于实数指数幂等式的证明问题常常将等式化为同底指数幂,利用幂的指数相等来证明.解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换,以及利用参数找到已知条件与结论的关系,这样才能使问题迅速得到解决. 已知pa3=qb3=rc3,且++=1.求证:(pa2+qb2+rc2=++. [分析] 看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子. 例4 [证明] 令pa3=qb3=rc3=k, 则pa2=,qb2=,rc2=; p=,q=,r=, 所以所证等式左边===, 所证等式右边=++ ==. 所以(pa2+qb2+rc2=++. 1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决. 2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验. 思维提升 4.设a,b,c都 ... ...
