一、变量的相关性 变量的相关关系与样本相关系数是学习线性回归模型的前提和基础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻画了两个变量的相关程度. 【例1】 （2022·全国乙卷理19题·节选）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）. 附：样本相关系数 r＝，≈1.377. 反思感悟 判断变量相关性的两种方法 （1）散点图法：直观形象； （2）公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.如点在一条直线上，｜r｜＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1时，负相关. 【跟踪训练】 1.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95 绘出散点图如下. 根据以上信息，判断下列结论： ①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ） A.0 B.3 C.2 D.1 2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程为＝x＋，样本相关系数为r1；方案二：剔除点（10，21），根据剩下数据得到经验回归方程为＝x＋，样本相关系数为r2.则（ ） A.0＜r1＜r2＜1 B.0＜r2＜r1＜1 C.－1＜r1＜r2＜0 D.－1＜r2＜r1＜0 二、经验回归方程 主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求经验回归方程，并应用于实际或对因变量进行预测. 【例2】 某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系.现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表： 时间 车流量x（单位：万辆） PM10浓度y（单位：μg/m3） 星期一 25.4 35.7 星期二 24.6 34.5 星期三 23.5 35.2 星期四 24.4 33.6 星期五 25.8 36.1 星期六 19.7 30.9 星期日 20.3 29.4 （1）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图； （2）根据表中的统计数据，求出经验回归方程＝x＋（精确到0.01）. 反思感悟 解决回归分析问题的一般步骤 （1）画散点图.根据已知数据画出散点图； （2）判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出经验回归方程； （3）实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题. 【跟踪训练】 近年来我国外贸企业一手抓质量，一手抓生产，产销形势喜人.自2023年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占世界的份额不断攀升，外贸发展韧性强劲.某个远洋运输公司出口营业额增长数据表如下： 月份 2023年6月 2023年7月 2023年8月 2023年9月 月份代码x 1 2 3 4 新增出口营业额 y亿元 2.4 2.8 3.6 5.1 月份 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月 月份代码x 5 6 7 8 新增出口营业额 y亿元 7.1 9.1 11.7 14.2 某位同学分别用两种模型：①＝x2＋，②＝x＋进行拟合，得到 ... ...
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