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课件网) 4.2 等差数列 知识点 1 等差数列 4.2.1 等差数列的概念 必备知识 清单破 文字语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差 递推公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) a,A,b成等差数列 2A=a+b A= ,这时A叫做a与b的等差中项. 知识点 2 等差中项 1.如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 2.等差数列通项公式的变形及应用 (1)变形 an=am+(n-m)d(m,n∈N*); (2)应用 ①d= (m,n∈N*,m≠n); ②n= +1(n∈N*,d≠0). 知识点 3 等差数列的通项公式 1.由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1 -d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b, f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b,……构成一个首项为(k+b),公差为k的等差数列{nk+b}. 2.等差数列的通项公式与一次函数的异同点 知识点 4 等差数列的通项公式与一次函数的关系 等差数列的通项公式 一次函数 解析式 an=kn+b(n∈N*) f(x)=kx+b(k≠0) 不同点 定义域为N*,图象是一系列孤立的点(在直线f(x)=kx+b上) 定义域为R,图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式,等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点 1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am+an=2ap. 2.等差数列{an}的公差为d,则d>0 {an}为递增数列;d<0 {an}为递减数列;d=0 {an}为常数列. 3.若等差数列{an},{bn}的公差分别为d,d',则有 知识点 5 等差数列的常用性质 数列 结论 {c+an}(c为任一常数) 公差为d的等差数列 {c·an}(c为任一常数) 公差为cd的等差数列 {pan+qbn}(p,q为常数) 公差为pd+qd'的等差数列 4.从等差数列中每隔一定的距离抽取一项组成的数列仍为等差数列.例如:若{an}是公差为d 的等差数列,则an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差数列,且公差为kd,k∈N*. 知识辨析 1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列吗 2.若三个数a,b,c满足a+c=2b,则a,b,c一定是等差数列吗 3.若数列{an}的通项公式为an=kn+b(k,b为常数),则{an}一定是公差为k的等差数列吗 4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式一定是关于n的一次函数吗 5.等差数列中必有a2+a3=a5吗 一语破的 1.不一定.差是同一个常数时才是等差数列,在这里强调同一个常数. 2.一定是等差数列.由a+c=2b,可得b-a=c-b,由等差数列的定义知a,b,c一定是等差数列. 3.一定是.若an=kn+b,则an+1=k(n+1)+b=kn+b+k,所以an+1-an=k(k为常数),所以{an}一定是公差为k 的等差数列. 4.不一定.当公差不为零时,通项公式是关于n的一次函数;当公差为零时,等差数列{an}为常数 列,其通项公式不是关于n的一次函数. 5.不是.在使用等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq时,要注意等式两边项 的个数必须相同,一般情况下,a2+a3=a1+a4≠a5. 关键能力 定点破 定点 1 等差数列的判定(证明) 判定一个数列是等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列. 其中,定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的依据,通项公式法只 ... ...
