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课件网) 知识点 1 等差数列的前n项和公式 4.2.2 等差数列的前n项和公式 必备知识 清单破 1.已知首项、末项与项数,则Sn= . 2.已知首项、公差与项数,则Sn=na1+ d. 等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的 图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 知识点 2 等差数列前n项和公式的函数特征 1.公差为d的等差数列中依次k(k∈N*)项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列(分段 和成等差). 2.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. (1)若项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0); (2)若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0). 3.若{an}是公差为d的等差数列,则 是首项为a1,公差为 的等差数列. 4.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则 = , = · (bn≠0,T2n-1≠0). 5.在等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n,m,n∈N*),则Sm+n=-(m+n). 知识点 3 等差数列前n 项和的性质 6.在等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n,m,n∈N*),则Sm+n=0. 知识辨析 1.等差数列的前n项和公式一定是关于n的常数项为0的二次函数吗 2.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列吗 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6是等差数列吗 4.等差数列{an}的前n项和Sn一定满足Sn=n 吗 5.当n≥3,n∈N*时,等差数列{an}的前n项和可以表示为Sn= 吗 一语破的 1.不一定.当公差d=0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数;当公差d≠0时,等差数 列的前n项和公式是关于n的常数项为0的二次函数. 2.不是.{an}是除第一项以外,其他各项差为2的数列. 3.不一定.S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,只有当公差为零时,S2,S4,S6才构成等差数列. 4.不一定.当项数n为奇数时满足Sn=n ;当项数n为偶数时中间项有两项, 不存在,不满足Sn =n . 5.可以.根据等差数列的性质可得a1+an=a3+an-2,所以等差数列{an}的前n项和可以表示为Sn= (n≥3,n∈N*). 关键能力 定点破 定点 1 等差数列前n项和公式及其应用 等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解决等差数列问题 的一般思路为:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解. 当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意结合等差数 列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便. 典例 已知等差数列{an}的前n项和为Sn. (1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d. 解法一:由已知得 解得 ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210. 解法二:由已知得 ∴a1+a10=42, ∴S10= =5×42=210. (2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6. 又an-3=45, ∴Sn= = = =510,∴n=20. 在解决与等差数列前n项和性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、 化难为易、事半功倍的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: (1)整体思路:利用公式Sn= 求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求 出A,B即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算. (3)利用相关性质中的结论进行求解. 定点 2 等差数列前n项和性质及其应用 典例 (1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项和S3m; (2)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 = ,求 的值. 思路点拨 (1)思路一:设数列的公差为d, ... ...
