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课件网) 知识 清单破 3.1.2 排列与排列数 知识点 排列与排列数 1.排列的概念 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不 同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排 列. 2.排列数 (1)排列数的概念:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中 取出m个对象的排列数,用符号 表示. 注意:①所谓排成一列,是指与顺序有关,例如,排列AB与排列BA是不同的排列,可以把一个排 列看成一个类似点坐标的有序数对.②符号 中,总是要求n和m都是正整数,且m≤n. (2)排列数公式: =n(n-1)…(n-m+1)= . 一般地,在 中,当m=n时,排列数公式为 =n×(n-1)×…×2×1,可简写为 =n!. 规定:0!=1; =1. 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.若组成两个排列的对象相同,则这两个排列是相同的. ( ) 2.4×5×6×…×(n-1)×n= . ( ) 3.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法数可列式为 - . ( ) 组成两个排列的对象相同,但这些对象的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的. 提示 √ 利用插空法可列式为 ,利用间接法可列式为 - . 提示 √ 讲解分析 疑难 1 与排列数有关的计算 疑难 情境破 1.排列数运算的方法与技巧 (1)拆项技巧:n·n!=(n+1)!-n!; = - . (2)化简技巧: =n , +m = . 2.解与排列数有关的方程或不等式的步骤 (1)转化:将与排列数有关的方程或不等式转化为普通方程或不等式; (2)求解:解转化后的普通方程或不等式; (3)检验:将所求结果代入原方程或不等式中检验. 典例 (1)计算: ; (2)解不等式: >6 ; (3)化简: + + +…+ (n≥2且n∈N). 解析 (1) = = =3. (2)原不等式可化为 > , 整理,得(11-x)(10-x)>6, 即x2-21x+104>0, ∴(x-8)(x-13)>0, 解得x<8或x>13.① 又∵ 且x∈N,∴2≤x≤9,且x∈N②,由①②得x=2,3,4,5,6,7, ∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}. (3)∵ = - , ∴ + + +…+ = + + +…+ =1- . 讲解分析 疑难 2 有限制条件的排列问题 1.“在”与“不在”问题 对于有“在”或“不在”要求的特殊对象或特殊位置,我们要优先安排,这种方法叫特 殊对象或特殊位置优先法.如果有两个及两个以上的约束条件,那么在考虑一个约束条件的 同时还要兼顾其他条件.当直接求解比较困难时,可根据“正难则反”的原则,考虑用间接法 求解. 2.“相邻”与“不相邻”问题 (1)当对象被要求相邻时,通常采用“捆绑法”,即把相邻对象看作一个整体并与其他对象进 行排列,要注意捆绑对象本身的内部排列. (2)当对象被要求不相邻时,通常采用“插空法”,即先考虑不受限制的对象的排列,再将不相 邻对象插在前面对象形成的空中(含两端). 3.“定序”问题 在排列问题中,某些对象的顺序是固定不变的,这种问题称为“定序”问题.“定序”问 题可以采用“倍缩法”求解,即n个对象的全排列中有m(m≤n)个对象的顺序固定,则满足题 意的排法有 种. 典例1 7名师生站成一排照相留念,其中有1名老师,4名男学生,2名女学生.分别求满足下列情 况的不同站法的种数. (1)老师必须站在正中间或两端; (2)2名女学生必须相邻而站; (3)4名男学生互不相邻; (4)4名男学生身高均不相等,且按从高到低的顺序站. 解析 (1)先考虑老师,有 种站法, 再考虑其余6人,有 种站法, 所以不同站法的种数为 =2 160. (2)2名女学生相邻而站,有 种站法,将她们视为一个整体并与其余5人全排列,有 种站法, 所以不同站法的种数为 =1 440. (3)先排老师和女学生,有 种站法,再在老师和女学生站位的空(含两端)中插入男学生,每空 一人,则插入方法有 种,所以不同站法的种数为 =144. (4)7人全排列的站法有 种,4名男学生不考虑身高顺序的站法有 ... ...
