(
课件网) 6.3 空间向量的应用 知识点 1 直线的方向向量 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 必备知识 清单破 6.3.2 空间线面关系的判定 我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作 n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量. 知识点 2 平面的法向量 知识拓展 若平面α的一个法向量为n=(A,B,C),且平面α经过点P(x0,y0,z0),M(x,y,z)是平面α内任 意一点,则平面α可以用关于x,y,z的三元一次方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0表示. 设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表: 知识点 3 空间线面的平行和垂直关系 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 知识辨析 1.直线的方向向量(或平面的法向量)唯一吗 2.若直线l的方向向量a与平面α内两条相交直线的方向向量垂直,则l⊥α吗 3.若向量n是平面α的一个法向量,表示非零向量m的有向线段所在直线与平面α平行或在平面 α内,则m与n有怎样的关系 4.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则这条直线一定与平面平行吗 一语破的 1.不唯一.若直线的方向向量(或平面的法向量)为a,则ka(k∈R,k≠0)也是该直线的方向向量 (或该平面的法向量). 2.垂直.由线面垂直的判定定理知l⊥α. 3.垂直.m·n=0. 4.不一定.这条直线与平面平行或在平面内. 求平面的法向量的步骤 关键能力 定点破 定点 1 求平面的法向量 典例 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB= AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. 解析 因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两互相垂直. 如图,以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),E ,C(1, ,0), 所以 = , =(1, ,0). 设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量, 则 即 所以 令y=-1,则x=z= , 所以平面ACE的一个法向量为n=( ,-1, ). 1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 2.利用空间向量证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (2)在平面内找到一个用有向线段表示的向量与直线的方向向量是共线向量; (3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示. 3.利用空间向量证明面面平行的方法 (1)证明两个平面的法向量平行; (2)转化为线面平行、线线平行来证明. 定点 2 利用空间向量证明空间中的平行关系 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证: (1)MN∥平面A1BD; (2)平面A1BD∥平面CB1D1. 证明 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N , ∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = . (1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即 令x=1,则y=-1,z=-1, ∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). ∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0, ∴ ⊥n. 又MN 平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. 证法二:∵ = = (1,0,1)= , ∴ ∥ . 又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. (2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则 即 令y1=1,则x1=-1,z1=1, ∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1), 由(1)知,平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1), ∴m=-n,∴m∥n, 故平面A1BD∥平面CB1D1. 1.证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直. 2.利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)利用线面垂直的判定定理,证 ... ...
