本章复习提升 易混易错练 易错点1 对空间向量的相关概念理解不清致错 1.下列命题正确的是( ) A.若直线l的方向向量为e=(1,0,3),平面α的一个法向量为n=,则直线l∥α B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb C.|a|=1,|b|=2,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为-b D.若向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,t)的夹角为钝角,则实数t的取值范围为 2.(多选题)下列说法不正确的是( ) A.|a|-|b|=|a+b|是a,b(a,b均不为0)共线的充要条件 B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面 D.|(a·b)·c|=|a||b||c| 易错点2 混淆空间角与向量夹角致错 3.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC互相垂直,PA=PB=PC=,M为平面ABC内的动点,且满足PM=,记直线PM与直线AB所成角的余弦值的取值范围为 . 4.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=4,AB=,点N为侧面BCC1B1上一动点(不含边界),且满足D1N⊥CN.记直线D1N与平面BCC1B1所成的角为θ,则tan θ的取值范围为 . 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PB=PD,F为PC上一点,过AF作与BD平行的平面AEFG,分别交PD,PB于点E,G. (1)证明:EG⊥平面PAC; (2)若F为PC的中点,PA=PC=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60°.求平面PAD与平面AEFG所成的锐二面角的余弦值. 易错点3 不能正确建立空间直角坐标系致错 6.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=60°,且AD=DS=SA=AB=2,BC=3. (1)求直线SB与平面SCD所成角的正弦值; (2)在线段SD上是否存在一点M,使得平面MAC⊥平面SCD 如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由. 思想方法练 一、利用转化与化归思想解决空间几何问题 1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E为线段BC的中点. (1)求证:A1B∥平面AEC1; (2)若AA1=1,求二面角A-C1E-C的正弦值. 二、利用函数和方程思想解决空间几何问题 2.(多选题)三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球Q的表面上,AP=2,AB=AC=BC=2,则( ) A.有且仅有2个点P满足AP⊥BC B.有且仅有2个点P满足AP与BC所成的角为60° C.PB2的最大值为8+4 D.PB2+PC2的最大值为16+8 3.如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE和四边形CDEF为两个全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=2EF=4,EA=ED=FB=FC=3. (1)当N为线段AD的中点时,求证:AD⊥FN; (2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE所成锐二面角的余弦值的取值范围. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.C 对于A,易得e·n=0,则l∥α或l α,故A错误; 对于B,当b=0时,若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb,故B错误; 对于C,a在b上的投影向量为b=b=b=-b,故C正确; 对于D,若向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,t)的夹角为钝角,则a·b<0,且a,b不共线, 故所以t∈(-∞,-6)∪,故D错误.故选C. 易错警示 (1)不要忽略相关概念的限制条件,如共线向量定理中a≠0; (2)在证明线面平行时,注意向量共面与直线共面的区别; (3)两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角. 2.ACD 对于A,|a|-|b|=|a+b|等价于a,b方向相反且|a|≥|b|,能推出a,b共线,充分性成立,而a,b共线,包含a,b方向相同的情况,即必要性不成立,所以|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充分不必要条件,故A中说法不正确; 对于B,{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,假设a+b,b+c,c+a共面, 则存在实数λ1,λ2,使得a+b=λ1(b+c)+λ2(c+a)=λ2a+λ1b+(λ1+λ2)c, 所以无解,故a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,故B中说法正确; 对于C,P,A,B,C四点共面等价于,且x+y+z=1, 对于,2+(-2)+(-1)=-1≠1,所以P,A,B,C ... ...
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