专题强化练1 空间向量的运算 1.(多选题)已知空间三点A(1,0,3),B(-1,1,4),C(2,-1,3),若,且|,则点P的坐标为( ) A.(4,-2,2) B.(-2,2,4) C.(-4,2,-2) D.(2,-2,4) 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BD1上,且(0<λ<1).当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围为( ) A. 3.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),BD是AC边上的高,则BD= . 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E∈平面ABB1A1,F是线段AA1的中点,若,则当△EBC的面积取得最小值时,D1E= . 5.已知空间单位向量e1,e2,e3,e4,|e1+e2|=|e3+e4|=2|e1+e2+e3+e4|=1,则e1·e3的最大值是 . 6.如图所示,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点. (1)求; (2)求证:; (3)求所成角的余弦值. 7.三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2.若a×b=,则称a×b为空间向量a与b的叉乘,其中a=x1i+y1 j+z1k(x1,y1,z1∈R),b=x2i+y2 j+z2k(x2,y2,z2∈R),{i, j,k}为单位正交基底.以O为坐标原点,i,j,k的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点. (1)①若A(1,2,1),B(0,-1,1),求; ②证明:=0; (2)记△AOB的面积为S,证明:S=|; (3)证明:()2的几何意义表示以△AOB为底面,||为高的三棱锥体积的6倍. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1 空间向量的运算 1.AB 因为B(-1,1,4),C(2,-1,3),所以=(3,-2,-1), 因为,所以可设=(3λ,-2λ,-λ), 因为|,所以,所以λ=±1, 所以=(3,-2,-1)或=(-3,2,1), 设P(x,y,z),则=(x-1,y,z-3), 所以 所以点P的坐标为(4,-2,2)或(-2,2,4).故选AB. 2.C 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 所以=(1,1,-1),则=(λ,λ,-λ), 故=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1), =(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1), 由图可知,∠APC≠0, 当∠APC为锐角时,cos∠APC>0, 所以=(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)>0,又0<λ<1,所以0<λ<.故选C. 3.答案 5 解析 设(λ∈R),则=(1,-1,2)+λ(0,4,-3)=(1,-1+4λ,2-3λ), 所以=(1,-1+4λ,2-3λ)-(5,-6,2)=(-4,5+4λ,-3λ), 因为,所以=(-4,5+4λ,-3λ)·(0,4,-3)=0+4(5+4λ)+9λ=0,解得λ=-, 所以, 所以|=5. 4.答案 2 解析 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,2,0),B(2,2,0),F(2,0,1),D1(0,0,2), 所以=(2,-2,1), 设E(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(2,y,z-2), 因为,所以=4-2y+z-2=0, 即z=2y-2, 由BC⊥平面ABB1A1,EB 平面ABB1A1,得BC⊥EB, 所以△EBC的面积S==BE, 而|, 故S=,由二次函数的性质得,当y=时,5y2-12y+8取最小值,即S最小, 此时y=,则, 故|,即D1E=2. 5.答案 解析 因为e1,e2,e3,e4是空间单位向量,所以平移向量e1,e2,e3,e4,使它们共起点,记起点为O,则终点在球心为O,半径为1的球面上,如图, 由|e1+e2|=1得+2e1·e2=1,所以e1·e2=-,所以
=120°,同理=120°, 令e1+e2=a,e3+e4=b,则=60°,=60°,且|a|=|b|=1,|a+b|=,即|a|2+|b|2+2a·b=,所以a·b=-,所以cos=-, 固定向量a,b,将e1绕向量a所在直线旋转一周得圆锥OO1的侧面,将e3绕向量b所在直线旋转一周得圆锥OO2的侧面, 因为cos=-,所以150°<<180°,则sin=, 观察图形知,当e1,e3旋转到平面O1OO2内,且都在∠O1OO2内时,向量e1与e3的夹角最小,设为θ, 则θ=-60°-60°=-120°, 故cos θ=cos(-120°)=coscos 120°+sinsin 120°=-, 所以e1·e3=|e1|| ... ... 
