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课件网) 知识点 用空间向量研究空间角 6.3.3 空间角的计算 必备知识 清单破 空间角 向量求法 异面直 线所成 的角 若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分 别是u,v,则cos θ=|cos
|= ,θ∈ 直线与 平面所 成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方 向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos< u,n>|= ,θ∈ 两个平面 所成的角 若平面α,β的法向量分别是n1,n2,则平面 α与平面β所成的二面角的平面角与向量 n1,n2的夹角相等或互补.设平面α与平面 β所成的角为θ,则|cos θ|=|cos| = ,θ∈[0,π] 知识辨析 1.若直线l与平面α的夹角为0°,则直线l一定在平面α内吗 2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°,则直线l与平面α所成的角是多少度 3.已知向量m是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,若cos=- ,则直线l与平 面α所成的角是120°吗 4.在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若= ,则二面角A-BD- C的大小一定为 吗 一语破的 1.不一定.直线l在平面α内或直线l∥平面α. 2.60°.设直线l与平面α所成的角为θ,θ∈ ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos|= ,则θ=60°. 3.不是.直线l与平面α所成的角为锐角或直角,并且直线l与平面α所成的角,就是直线l与平面α 的垂线所成角的余角.因此直线l与平面α所成的角应为30°. 4.不一定.当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于= ;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等 于π-=π- = . 1.用向量求异面直线所成的角的两种方法 (1)基向量法 基向量法的一般步骤: ①确定空间的一个基底,进而确定空间两直线的方向向量. ②求出两个方向向量夹角的余弦值. ③根据直线夹角与其方向向量夹角的关系,得到两异面直线所成的角. 关键能力 定点破 定点 1 用向量法求异面直线所成的角 (2)坐标法 利用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤: ①建立适当的空间直角坐标系并写出相应点的坐标. ②求出两条异面直线的方向向量. ③利用向量夹角的余弦公式得出结论. 2.注意向量的夹角与异面直线所成角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,此角就是异面直线所成的角;当异面直线的 方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角. 典例 如图所示,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,E为OC的中点,且OB=OC=2OA= 2,求直线AE与BC所成角的大小. 解析 解法一(基向量法):根据已知可得 , , 不共面,且| |=1,| |=| |=2, · = · = · =0. 又因为 = - = - , = - , 所以 · = ·( - )= - · - · + · =2, | |2= · = - · + =2, | |2=( - )·( - )= -2 · + =8, 所以cos< , >= = = , 因此< , >= , 故直线AE与BC所成角的大小为 . 解法二(坐标法):因为OA,OB,OC两两互相垂直, 所以以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直 角坐标系, 则由OB=OC=2OA=2可知A(1,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),C(0,0,2), 所以 =(-1,0,1), =(0,-2,2), 因此cos< , >= = = , 所以< , >= , 故直线AE与BC所成角的大小为 . 利用向量法求空间中线面角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,写出相应点的坐标; (2)求出直线的方向向量a的坐标以及平面的法向量b的坐标; (3)设线面角为θ,利用sin θ= ,结合θ∈ 得出结论. 定点 2 用向量法求线面角 典例 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段 AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN∥平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 解析 (1)证明:由已知得AM= AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN, 由N为PC的中点,得TN∥BC,TN= BC=2, 又AD∥BC,所以TN ... ... 