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课件网) 7.1 两个基本计数原理 知识点 1 分类计数原理(加法原理) 必备知识 清单破 如果完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不 同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不 同的方法. 如果完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法… …做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 知识点 2 分步计数原理(乘法原理) 知识点 3 两个基本计数原理的比较 知识辨析 1.要完成一件事,如何选择用分类计数原理还是分步计数原理 2.在分类计数原理中,两类不同方式中的方法可以相同吗 3.在分步计数原理中,第2步的方法数是否受第1步不同方法的影响 4.有三只口袋装有小球,一只装有5个大小不同的白色小球,一只装有6个大小不同的黑色小 球,一只装有7个大小不同的红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,则共有多少种不同 的取法 5.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有43 种还是34种 一语破的 1.看每一种方法是否能够独立完成这件事,如果每类方式中的每一种方法都能独立完成这件 事,那么就用分类计数原理;如果每类方式中的每一种方法只能完成这件事的一部分,那么就 用分步计数原理. 2.不可以.在分类计数原理中,每类方式中的不同方法互相独立,都能独立完成这件事,因此两 类不同方式中的方法是不同的. 3.否.无论第1步采用哪种方法,与之对应的第2步都有相同的方法数. 4.107种.5×6+5×7+6×7=107(种). 5.34种.要完成的一件事是“给比赛项目找冠军获得者”,因为每个项目中的冠军都有3种可 能的情况,所以根据分步计数原理知共有34种不同的夺冠情况. 1.利用两个基本计数原理时,首先要理解题意,弄清“完成哪件事”,然后决定是分类还是分 步.“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的 完成,“步”则缺一不可. 2.解题时通常要综合考虑两个计数原理 (1)类中有步 从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法. 关键能力 定点破 定点 1 两个基本计数原理的合理选择 (2)步中有类 从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. 典例1 有6名同学报名参加3个智力竞赛项目. (1)若每人恰好参加一个项目,每个项目人数不限,则有多少种不同的报名方法 (2)若每个项目限报一人,且每人至多参加一个项目,则有多少种不同的报名方法 (3)若每个项目限报一人,但每人参加的项目个数不限,则有多少种不同的报名方法 解析 (1)根据题意得,每名同学都可以从3个智力竞赛项目中选1个参加,根据分步计数原理, 得不同的报名方法种数为36=729. (2)根据题意得,第1个项目有6种选法,第2个项目有5种选法,第3个项目有4种选法,根据分步计 数原理,得不同的报名方法种数为6×5×4=120. (3)根据题意得,每个项目都可以从6名同学中选出1名参加,根据分步计数原理,得不同的报名 方法种数为63=216. 典例2 7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另外2名既会 下象棋又会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选 法 解析 分四类: 第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1 名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 第二类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的 学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法; 第三类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的 学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法; 第四类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各 ... ...
