(
课件网) 7.3 组合 知识点 1 组合、组合数与组合数公式 必备知识 清单破 1. = . 2. = + . 知识点 2 组合数的性质 知识拓展 组合中的平方恒等式: n∈N*,恒有 ( )2= . 知识辨析 1.两个组合相同的充要条件是什么 与顺序是否有关 2.从a,b,c三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,共有多少个这样的组合 3.若 = ,则n等于多少 4.计算从a,b,c,d四个不同的正数中选两个分别进行加、减、乘、除运算,是排列问题还是组 合问题 一语破的 1.两个组合相同的充要条件是两个组合中的元素完全相同;与顺序无关. 2.不同的组合为ab,ac,bc,有 =3(个). 3.由组合数的性质 = ,得n=6+5=11. 4.减法和除法运算有顺序,是排列问题;加法和乘法运算无顺序,是组合问题. 1.组合数公式的应用技巧 乘积式 = 主要适用于含具体数字的组合数的计算求值;阶乘式 = 主要适用于含字母的组合 数的有关变形及证明. 2.组合数的性质及应用 (1)性质“ = ”的意义及作用 关键能力 定点破 定点 1 组合数及其运算 (2)性质“ = + ”的顺用、逆用、变形用 顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形式 = - 为某些项相 互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用. 典例1 (1)计算 + ; (2)解不等式: > . 解析 (1)解法一: + = + =15+20=35. 解法二: + = = =35. (2)由 > 得 ∴ 即 ∴6≤n<10, ∵n∈N*, ∴原不等式的解集为{6,7,8,9}. 典例2 (1)证明:m =n ; (2)已知 - = ,求 + . 解析 (1)证明:m =m· = =n· =n . (2)∵ - = , ∴ - = , 即 - = , ∴1- = , 即m2-23m+42=0, 解得m=2或m=21. ∵0≤m≤5,∴m=2, ∴ + = + = =84. 分组问题和分配问题是有区别的,前者是组与组之间只要元素个数相同,就是不可区分 的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的. 1.分组问题的求解策略 定点 2 分组与分配问题 常见形式 处理方法 非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽,分法种数A= · · ·…· 均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为 (其中A为非均匀不编号分组中的分法种数).如果再有k组均匀分组,则应再除以 非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为A· (其中A为非均匀不编号分组中的分法种数) 均匀编号 分组 将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为 · (其中A为非均匀不编号分组中的分法种数) 2.相同元素分配问题的处理策略 ———n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用隔板法求解. (1)当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有 种,即给n个元素中间的(n-1)个空隙中插 入(m-1)个隔板. (2)任意分组,可出现某些组含0个元素的情况,其不同分组方式有 种,即将n个相同元素与 (m-1)个相同隔板进行排序,在(n+m-1)个位置中选(m-1)个安排隔板. 典例1 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法 (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)分成三份,每份2本; (4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本. 解析 (1)先从6本书中选1本,有 种方法,再从剩余5本书中选2本,有 种方法,还剩3本书全 选,有 种方法,所以共有 =60种方法. (2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有 =360种方法. (3)先从6本书中选2本,有 种方法,再从剩余4本书中选2本,有 种方法,还剩2本书全选,有 种方法,所以共有 =90种方法. 但是,这些方法中有重复.假如6 ... ...
