第1章 导数及其应用 专题强化练2 利用导数研究函数的零点 50分钟 1.已知函数f(x)的定义域为[-1,4],部分对应值如下表: x -1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.当1
0时,xf'(x)+2f(x)>0,且f(1)=1,则函数g(x)=f(x)-的零点个数为 . 8.已知函数f(x)=-aln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在区间(1,e2]内恰有两个零点,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第1章 导数及其应用 专题强化练2 利用导数研究函数的零点 1.D 根据题中导函数的图象,及题表中数据可作函数f(x)的大致图象如图所示. 由f(x)的图象可知,当1或x<-时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当-0时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x=0时,g(x)取得极小值,也是最小值,为g(0)=-1,显然g(1)=0,当x<1时,g(x)<0恒成立.由此可以画出函数g(x)的大致图象,如图所示, 由图象可得,要使函数f(x)有且仅有两个零点,只需-10时,F(x)有两个零点, 当x>0时,-x<0, f(-x)=ex-2mx+m, 即当x>0时,F(x)=ex(x-1)+ex-2mx+m=xex-2mx+m, 令F(x)=0,可得xex-2mx+m=0,则问题等价于方程xex-2mx+m=0有两个不相等的实根,等价于函数y=xex的图象与直线y=2mx-m有两个不同的交点,作y=xex的图象与直线y=2mx-m,如图. 设函数y=xex的图象与直线y=m(2x-1)相切时的切点为(t,tet), 易知y=xex的导数为y'=(x+1)ex,可得切线的斜率为(t+1)et,切线的方程为y-tet=(t+1)et(x-t), 由切线经过点,可得-tet=(t+1)et, 解得t=1或t=-(舍去),即切线的斜率为2e, 故2m>2e,所以m>e.结合选项可知选CD. 5.答案 2 解析 由f(x)为偶函数,得f(-x)=f(x), 即x2-(m-1)x+1=x2+(m-1)x+1,所以m-1=0, 即m=1, 所以g(x)=x-ln x-2,则g'(x)=1-=, 易知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)的极小值,也是最小值,为g(1)=-1<0. 又因为g(e2)=e2-4>0,且g(x)的图象在(1,+∞)上连续不断,所以g(x)在(1,+∞)上有唯一零点; 又因为g=>0,且g(x)的图象在(0,1)上连续不断,所以g(x)在(0,1)上有唯一零点. 综上所述,g(x)有且仅有2个零点. 6.答案 (0,+∞) 解析 ∵f(x)=aex-x-2a,∴f'(x)=aex-1. 当a≤0时, f'(x)<0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点; 当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln ,易知函数f(x)在 上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)的极小值,也是最小值,为f=1-ln -2a=1+ln a-2 ... ... 
