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课件网) 2.2 空间向量及其运算 1.空间向量的基本概念 (1)定义:空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)向量的模:空间向量a的大小(或长度)称为a的模,记为|a|. (3)表示:从空间中任意一点A出发作有向线段 ,使 的方向与a相同,长度与|a| 相等,则有向线段 表示向量a,记作a= .通常把A称为向量 的起点,B称为向 量 的终点. 1 | 空间向量的基本概念 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 零向量 长度为0的向量 相等向量 方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 1.空间向量的加减法法则 平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立. (1)对于空间任意两个向量a,b,在平面α内任取一点O,作 =a, =b, =b,则a+b= ,a-b= . (2)对于空间三个或更多的向量的求和,与平面内多个向量的加法类似,可将它们 依次用首尾相接的折线来表示,则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 所得的向量即为这些向量的和向量. 2 | 空间向量的加减法 2.空间向量的加法运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 1.向量与实数相乘的定义:任何一个向量a都可看作某平面上的向量,它与实数λ相 乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=|λ||a|. 当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反. 空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算. 2.单位向量:长度为1的向量称为单位向量. 对于每个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e= a. 3.共线向量:对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或 平行,记作b∥a. 零向量与任意向量共线. 3 | 向量与实数相乘 4.空间向量与实数的乘法的运算律 (1)对向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb. (2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a. 1.向量的夹角:作 =a, =b,则∠AOB称为向量a,b的夹角,记作
,其取值范 围为[0,π].两向量同向时,夹角为0;两向量反向时,夹角为π. 2.向量的数量积:定义a·b=|a||b|·cos为a与b的数量积. 零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=0. 3.向量数量积的性质 (1)向量垂直的关系式: a⊥b a·b=0. 注:零向量与任意向量垂直. (2)模长公式:a·a=|a|2=a2,|a|= . (3)夹角公式:若a,b均为非零向量,则cos= . 4.向量数量积的运算律 (1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). 4 | 向量的数量积 (2)交换律:a·b=b·a. (3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 5.向量数量积的几何意义 (1)投影向量与投影长: 如图,将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内,可得 =a, =b,= α,过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则 为 在 方向上的投影向量,投影向量的 模| |=| ||cos α|称为投影长, 称| |cos α为 在 方向上的投影. (2)数量积的几何意义:a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cos α的 乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积. 知识拓展 空间向量的三角不等式 如果a,b都是空间向量,那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 1.相等向量一定是共线向量吗 是.若a,b相等,则a=b=1×b,符合共线向量的定义,故a与b是共线向量. 2.当a=0或b=0时,a,b的夹角为0,对吗 不对.因为零向量的方向可以任取,所以当a=0或b=0时,夹角可以在[0,π]中任 意选定. 3. 在 方向上的投影一定是非负数吗 不一定. 在 方向上的投影为| |·cos< , >,当< , >为钝角时,cos< , >为负数,此时 在 方向上的投影为负数. 4.对于空间内任意三个向量a,b,c,a·(b·c)=(a·b)·c一定成立吗 不一定.因为b·c,a·b的结果是实数,所以a·(b·c)是与a共线的向量,(a·b)·c是与c共线 的向量,而a,c不一定共线,所以a·(b·c)与(a·b)·c不一定相等. 知识辨析 空间向 ... ... 