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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解圆的一般方程及其特点. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 圆的一般方程 名师点睛 1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. 2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项. 3.几个常见圆的一般方程 (1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0); (2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0); (3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0); (4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0); (5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 思考辨析 1.把圆的标准方程(x-1)2+(y+2)2=9展开并化为等号右端为零的形式,得到的方程有什么特点 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件 提示 展开后得到x2+y2-2x+4y-4=0,方程为二元二次方程,且x2,y2的系数相等且不为零,不含xy项. 提示 需满足的条件为①A=C,且均不为0;②B=0;③D2+E2-4AF>0. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)同一个圆的一般方程可以与它的标准方程互化.( ) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.( ) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0.( ) (4)在平面直角坐标系中,任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( ) (5)方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是点(a,b).( ) √ × √ √ × 2.[2024上海宝山期中]方程x2+y2-2ay+a=0表示圆,则实数a的取值范围是 . (-∞,0)∪(1,+∞) 解析 因为方程x2+y2-2ay+a=0表示圆,则4a2-4a>0,解得a>1或a<0,即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞). 3.[人教B版教材习题]写出下列圆的圆心坐标和半径: (1)x2+y2-6x=0; (2)2x2+2y2-4x+8y+5=0. 解 (1)圆心为(3,0),r=3. 4.[人教B版教材习题]已知a,b为实数,判断x2+y2+2ax-b2=0是否是圆的方程,并说明理由. 解 原方程可化为(x+a)2+y2=a2+b2,当a=b=0时,x2+y2=0,不是圆的方程,它表示原点; 当a,b不同时为零时,方程表示圆心为(-a,0),半径为 的圆. 知识点2 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题 1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则它们的位置关系如下表: > = < 2.点M的坐标(x,y)满足的 称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程. 等量关系式 思考辨析 轨迹和轨迹方程有什么区别 提示 轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 自主诊断 1.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( ) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 D 解析 ∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,∴(a-1)2+b2=1, ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆. 2.[人教B版教材习题]已知坐标原点不在圆x2+y2-ay+a-1=0的内部,求实数a的取值范围. 解 ∵(0,0)不在圆的内部,∴将(0,0)代入圆的方程,得a-1≥0,∴a≥1. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 圆的一般方程初步理解 【例1】 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径. 规律方法 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若 ... ...
