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课件网) 如果变量之间存在着某种关系,那么其散点图中的点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以 用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合.若在两个变量X和Y的 散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两 个量之间的关系,称之为直线拟合. §1 一元线性回归 知识点 1 曲线拟合和直线拟合 知识 清单破 1.最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y,可以把其成对的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示为平面直角 坐标系中的n个点.现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2,…,n),由这个直线方 程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+… +[yn-(a+bxn)]2达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小 二乘法. 2.线性回归方程 直线方程Y= + X称作Y关于X的线性回归方程,相应的直线称作Y关于X的回归直线, , 是 这个线性回归方程的系数. 其中, = 知识点 2 一元线性回归方程 = , = - , = (x1+x2+…+xn), = (y1+y2+…+yn). 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段. ( ) 2.回归直线Y=a+bX至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个. ( ) 3.对于散点图中的点没有均匀分布在某条直线附近或成无规则排列的两个变量,用最小二乘 法求不出对应的回归直线. ( ) √ 提示 提示 因为散点图可以形象直观地展示两个变量的关系,通过散点图判断两个变量更近似于 什么样的函数关系,以确定是否能直接用线性回归模型来拟合原始数据. 通过线性回归方程求出的值是一个估计值,因此这些点不一定在回归直线上,故错误. 1.确定研究对象,明确哪个变量是X,哪个变量是Y. 2.画出X和Y的散点图,观察它们之间是否存在线性关系. 3.若数据呈线性关系,则选用线性回归方程. 4.按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程的系数. 5.对变量值的预测,即X取某值时,对Y的值进行预测. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 线性回归方程的求解与运用 典例 随着经济的发展,农民收入逐年增长,下表是某地一农商银行连续五年的储蓄存款(年底 余额): 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 储蓄存款y (百亿元) 6 7.5 8 9.5 11 为了让研究时计算方便,工作人员将上表中的数据进行了处理,令t=x-2 018,z=y-6,得到下表: 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1.5 2 3.5 5 (1)求z关于t的线性回归方程 = t+ ; (2)通过(1)中的方程,求出y关于x的线性回归方程; (3)用所求回归方程预测到2026年年底,该农商银行的储蓄存款可达多少. 附:对于线性回归方程 = x+ ,其系数 = , = - . 解析 (1)依题意,得 =3, = , 所以 = = = = , = - = - ×3=- , 所以z关于t的线性回归方程为 = t- . (2)由(1)可知 = t- , 因为t=x-2 018,z=y-6, 所以 -6= (x-2 018)- , 整理得 = x- , 即y关于x的线性回归方程为 = x- . (3)当x=2026时, = =14.4, 因此,预测到2026年年底,该农商银行的储蓄存款可达14.4百亿元.第七章 统计案例 §1 一元线性回归 1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程 基础过关练 题组一 线性回归的相关概念的理解 1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 2.两个变量x与y之间的回归方程( ) A.表示x与y之间的函数关系 B.表示x与y之间的不确定关系 C.反映x与y之间的真实关系 D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合 3.下列两个变量中能够具有相关关系的是( ) A.人所站的高度与视野 B.人眼的近视程度与身高 C.正方体的体积与棱长 ... ...
