综合拔高练练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练 高考真题练 考点1　用空间向量解决立体几何中的证明、求值问题 1.(2023北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=. (1)求证:BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. 2.(2023天津,17)三棱台ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N为线段AB的中点,M为线段BC的中点. (1)求证:A1N∥平面C1MA; (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值; (3)求点C到平面C1MA的距离. 3.(2023新课标Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足,求二面角D-AB-F的正弦值. 4.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 5.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 考点2　用空间向量解决立体几何中的最值问题 6.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 7.(2020新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 考点3　已知空间角解决立体几何问题 8.(2023新课标Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. 9.(2021北京,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,B1C1与平面CDE交于点F. (1)求证:F为B1C1的中点; (2)若M为棱A1B1上一点,且二面角M-FC-E的余弦值为,求的值. 10.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)证明:OA⊥CD; (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积. 考点4　用空间向量解决探索性问题 11.(2019北京,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且. (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由. 高考模拟练 应用实践 1.在四面体A-BCD中,P在平面ABC内,Q在平面BCD内,且满足,若,则线段AQ与DP的位置关系是(　　) A.AQ与DP所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行 C.线段AQ与DP必相交 D.线段AQ与DP延长后相交 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD、侧面A1ADD1都是正方形,且二面角A1-AD-B的大小为120°,AB=2,若P是C1D与CD1的交点,则AP=(　　) A.　　　　D.3 3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱A1D1,CC1的中点,点G是底面ABCD内任意一点(包括边界),则三棱锥G-B1EF的体积的取值范围是(　　) A.　　　　 C. 4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,点E,F满足,则下列结论正确的有(　　) A.直线BE与D1F一定为异面直线 B.直线AE与平面ACB1所成角的正弦值为 C.四面体A-DEF的体积恒为2 D.当λ=μ时,AF+A1F的最小值为 5.如图,四棱锥P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD∥BC,AD⊥AB,AC与BD交于点O,过点O作平行于平面PAB的平面α. (1)若平面α分别交PC,BC于点E,F,求△OEF的周长; (2)当PD=2时,求平面α与平面PCD夹角的正弦值. 6.如图1,四边形ABCD为平行四边 ... ...