专题强化练2 对称问题及其应用 1.光线通过点A(2,3),经直线l:x+y+1=0反射,其反射光线经过点B(2,2),则反射光线所在直线的方程为( ) A.6x-5y-2=0 B.6x+5y-22=0 C.5x-6y+2=0 D.5x+6y-22=0 2.若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为( ) A.2x+y+1=0 B.x+2y-1=0 C.x+y=0 D.x-2y+3=0 3.(多选题)已知点P(1,2),直线l的方程为x-y+2=0,则下列说法正确的是( ) A.过P点且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0 B.过P点且与直线l垂直的直线方程为2x+y-4=0 C.点P关于直线l对称的点的坐标为(0,3) D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0 4.已知A(-3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为( ) A.2 B.6 C. 5.(多选题)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为,且PO=2,点Q为PO(不含端点)上的动点,若光线从点Q出发,依次经圆锥的侧面与底面反射后重新回到点Q,则光线经过的路程可能为( ) A. 6.已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 7.已知x,y为实数,则代数式的最小值是 . 8.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0. (1)在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小,并求这个最小值和点C的坐标; (2)在直线l上找一点D使得AD-BD的值最大,并求这个最大值和点D的坐标. 答案与分层梯度式解析 专题强化练2 对称问题及其应用 1.C 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),则故A'(-4,-3). 由于反射光线所在直线经过点A'(-4,-3),B(2,2), 所以反射光线所在直线的方程为y-2=(x-2),即5x-6y+2=0.故选C. 2.D 联立即l1与l的交点为(-1,1). 在直线l1上任取一点A(0,3),设A关于l的对称点为A1(a,b), 则即A1(1,2), 所以直线l2的方程为,即x-2y+3=0. 故选D. 3.ACD 对于A,设过点P且与l平行的直线方程为x-y+C=0(C≠2),将P(1,2)代入,得1-2+C=0,解得C=1,故所求直线的方程为x-y+1=0,A正确; 对于B,设过点P且与l垂直的直线方程为x+y+C1=0,将P(1,2)代入,得1+2+C1=0,解得C1=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0,B错误; 对于C,设点P关于直线l对称的点为N(s,t),则故N(0,3),C正确; 对于D,因为1-2+2≠0,故P点不在l上,故l关于点P对称的直线与l平行,故设l关于点P对称的直线方程为x-y+C2=0(C2≠2), 任取直线l:x-y+2=0上一点A(0,2),设A关于P(1,2)对称的点为B(m,n), 则故B(2,2), 将B(2,2)代入x-y+C2=0,得2-2+C2=0,解得C2=0, 故所求直线的方程为x-y=0,D正确.故选ACD. 4.C 由已知得直线AB的方程为y=x+3,设点P关于直线y=x+3的对称点为P1(a,b), 则即P1(-1,3), 设点P关于x轴的对称点为P2,则P2(0,-2), 如图,点P1,P2都在光线CD所在的直线上,利用对称性可知DP=DP1,CP=CP2, 所以光线经过的路程为PC+CD+DP=P2C+CD+DP1=P1P2=. 故选C. 5.AC 作出圆锥的轴截面△PFA,设光线从点Q出发,依次经过圆锥侧面上的点B与底面上的点C,建立如图所示的平面直角坐标系, 设Q关于直线AP的对称点为D,关于直线OA的对称点为E,则QB+BC+CQ=DB+BC+CE=DE, 由已知得P(0,2),A(,0),设Q(0,t)(0
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