专题强化练7 圆锥曲线中的定点、定值问题 1.已知A,B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.P为椭圆=1(a>b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则直线PA1与PA2的斜率之积为定值-,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P为双曲线=1(a>0,b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则( ) A.直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B.直线PA1与PA2的斜率之积为定值 C.直线PA1与PA2的斜率之和为定值 D.直线PA1与PA2的斜率之积为定值 3.(多选题)已知点P为双曲线C:-y2=1右支上一点,l1,l2为双曲线C的两条渐近线,过点P分别作PA⊥l1,PB⊥l2,垂足依次为A,B,过点P作PM∥l2交l1于点M,过点P作PN∥l1交l2于点N,O为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A.PA·PB= B.OP≥AB C.3S△PAB=2S△PMN D.MN≥1 4.(多选题)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上的动点,离心率为e,椭圆的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是( ) A.若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2=- B.若椭圆C上存在点M使=0,则e∈ C.当△F1PF2的面积最大时,∠F1PF2=120°,则e= D.根据光学现象知道:从F1发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过F2,现有一束光线从F1发出并经椭圆反射,当光线第n次到达F2时,光线通过的总路程为4na 5.已知双曲线C:x2-y2=1,过点B(0,2)的动直线与C交于两点P,Q,若曲线C上存在某定点A使得kPA+kQA为定值λ,则λ2的值为 . 6.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+y2=1上的两个动点,且x1x2+4y1y2=0,O为坐标原点,则OA2+OB2= . 7.已知A,B分别是椭圆E:=1的左、右顶点,C,D是椭圆上异于A,B的两点,若直线AC,BD的斜率k1,k2满足k1=2k2,则直线CD过定点,且定点坐标为 . 8.已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. (1)若弦AB的中点为(2,2),求直线l的方程; (2)若y1y2=-16,求证:直线l过定点. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E的焦点为F1(-,0),且满足 ,椭圆E的上、下顶点分别为A,B,右顶点为D,直线l过点D且垂直于x轴.现有如下两个条件: 条件①:椭圆过点,条件②:椭圆的离心率为. 请从上述两个条件中选择一个补充在横线上,并完成解答. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若点Q在椭圆E上,且在第一象限内,直线AQ与l交于点N,直线BQ与x轴交于点M.则OM+2DN是不是定值 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 10.已知双曲线C:x2-y2=8的左焦点为F,过点F作直线l交C的左支于A,B两点. (1)若,求l的方程; (2)若点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1-k2为定值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7 圆锥曲线中的定点、定值问题 1.B 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+b(b≠0), 联立可得y2-4my-4b=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4b, 则+y1y2=b2-4b=b(b-4)(b≠0). 若=0,则b=4,则直线AB的方程为x=my+4,直线AB恒过定点(4,0); 若直线AB恒过定点(4,0),则b=4,于是=0. 所以“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件.故选B. 2.D 设P(x0,y0),则=1,即·(-a2). ∵A1(-a,0),A2(a,0), ∴, ∴.故选D. 方法技巧 求定值问题的常见方法 1.直接推理计算,在计算过程中消去变量(参数),得到定值. 2.从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. 3.ABD 对于A,设点P(m,n),则m2-3n2=3.双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,不妨设l1:x-y=0. 所以PA·PB=,A中结论正确. 对于B,由题意可知PA⊥OA,PB⊥OB,则O,A,P,B四点共圆,且OP为该圆的一条直径,AB为该圆的一条弦,故OP≥AB,B中结论正确. 对于C,两条渐近线的斜率分别为-,则其夹角为,结合B知∠APB=, 故S△PAB=PA·PBsin∠APB=, 因为PM∥l2,所以∠PMA=,因为PA ... ...
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