专题强化练12 利用导数研究函数的零点 1.已知函数f(x)=(e是自然对数的底数)在定义域R上有三个零点,则实数m的取值范围是( ) A.(e,+∞) B.(e,5] C.(e,5) D.[e,5] 2.(多选题)已知函数f(x)=,则关于x的方程[f(x)]2+mf(x)+m-1=0(m<1)的实根可能有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知函数f(x)=2x+ln x+1-a和函数g(x)=x-有相同的零点x0,则ln =( ) A.2 B.-e C.-4 D.e2 4.(多选题)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是( ) A.若a≤0,则函数f(x)没有极值 B.若a>0,则函数f(x)有极值 C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是 D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪ 5.已知函数f(x)=x(1+e-x)-a(1-e-x)(a>0)的零点为x1,x2,x3,且x1
时,令xex-2mx+m=0,得m=, 设g(x)=,则g'(x)=, 当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴当x>时,g(x)min=g(1)=e, ∵f(x)在R上有三个零点,∴x=为f(x)的一个零点,且m=有两个不同的解, ∴解得e0, f(x)单调递增,当x>1时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 故f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,为f(1)=. 当x<0时, f(x)>0, f'(x)=<0, f(x)单调递减,当x→-∞时, f(x)→+∞,当x→0-时, f(x)→0. 由[f(x)]2+mf(x)+m-1=0得[f(x)+1][f(x)+m-1]=0,得f(x)=-1(舍去)或f(x)=1-m. 所以当1-m>,即m<1-时,方程[f(x)]2+mf(x)+m-1=0有1个实根; 当1-m=,即m=1-时,方程[f(x)]2+mf(x)+m-1=0有2个实根; 当0<1-m<,即1-0), 则h'(x)=(1+2x)e2x-. 令m(x)=e2x-,易知m(x)在(0,+∞)上单调递增, 又m-4<0,m(1)=e2-1>0, ∴m(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点t,且t∈,即2t=-ln t. ∴当x∈(0,t)时,m(x)<0,即h'(x)<0; 当x∈(t,+∞)时,m(x)>0,即h'(x)>0, ∴h(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(t)=te2t-2t-ln t-1=1+ln t-ln t-1=0, 又x0-2x0-ln x0-1=0,∴t=x0, ∴ln =e2tln t2=2e2tln t=·(-2t)=-4.故选C. 4.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-, 若a≤0,则 f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值,当x→0+时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→-∞,∴f(x)有且只有一个零点. 若a>0,令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0, f(x)单调递增,故当x=时, f(x)取得极小值,为f=1+ln a,当x→0+时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,当1+ln a=0,即a=时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即00时,由g(x)=, 得g'(x)=1+, ... ... 
