专题强化练13 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,-3) C.(-∞,1] D.[3,+∞) 2.若函数f(x)=x2-4x+aln x存在两个极值点x1,x2,且不等式f(x1)+f(x2)≥x1+x2+t恒成立,则t的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-16-8ln 2] C. D.(-∞,-13] 3.若关于x的不等式ax(eax+2)≥(x+2)ln x对任意的x∈(0,+∞)都成立,则a的最小值为( ) A. C. 4.(多选题)已知函数f(x)=x(ln x-a),g(x)=ex(x+1),若 x1∈[1,e], x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),则a的取值可能是( ) A.- C.- 5.已知函数f(x)=x2-aln x+1,-2≤a<0,若 x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,则实数m的最小值为 . 6.(2024江苏部分学校联考)已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3-3x2+a,a∈R. (1)求f(x)的极值; (2) x1∈, x2∈[1,3],使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围. 7.已知函数f(x)=ex-x2. (1)若对任意x≥0, f(x)≥ax+1恒成立,求a的取值范围; (2)若对任意x≥0, f(2x)≥ax2+2x+1恒成立,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练13 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.C 存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,即存在x0>0,使得a≤x0-x0ln x0有解,即a≤(x-xln x)max,x>0, 令g(x)=x-xln x,则g'(x)=1-(ln x+1)=-ln x, 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, ∴g(x)max=g(1)=1,∴a≤1.故选C. 方法总结 用分离参数法解决不等式恒(能)成立问题的策略: (1)分离变量,构造函数,将问题转化为函数的最值问题; (2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min;a≥f(x)能成立 a≥f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max. 2.D 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=x-4+,x>0, 因为函数f(x)存在两个极值点x1,x2,所以方程x2-4x+a=0有两个不相等的正实数根, 则解得0
0,h(a)单调递增,故h(a)min=h(1)=-13. 因为不等式f(x1)+f(x2)≥x1+x2+t恒成立,即f(x1)+f(x2)-(x1+x2)≥t恒成立,所以t≤-13.故选D. 3.B 令f(x)=(x+2)ln x,则f'(x)=ln x++ln x+1. 令g(x)=+ln x+1,则g'(x)=-, 由g'(x)=0可得x=2, 当02时,g'(x)>0,g(x)在(2,+∞)上单调递增. 所以g(x)在x=2处取得极小值,也是最小值,为g(2)=ln 2+2, 显然ln 2+2>0, 所以g(x)>0,即f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 由ax(eax+2)≥(x+2)ln x可知f(eax)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)都成立, 所以eax≥x对任意的x∈(0,+∞)都成立, 由eax≥x,x>0得a≥,x>0, 所以a≥对任意的x∈(0,+∞)都成立, 故只需a≥即可. 令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=, 令h'(x)=0,得x=e, 当00,h(x)单调递增; 当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减. 所以h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,为h(e)=,所以a≥,故a的最小值为.故选B. 4.BC 设f(x)在[1,e]上的值域为A,g(x)在[-1,1]上的值域为B,则A B, 易得g'(x)=(x+2)ex,∴当x∈[-1,1]时,g'(x)>0, ∴g(x)在[-1,1]上单调递增,∴B=[0,2e]. 易得f'(x)=ln x-a+1(1≤x≤e), 当a≤1时, f'(x)≥0恒成立,且仅在个别点处取“=”,∴f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a, f(x)max=f(e)=e(1-a),即A=[-a,e(1-a)], ∴解得-1≤a≤0,满足条件. 当a≥2时, f'(x)≤0恒成立,且仅在个别点处取“=”,∴f(x)在[1,e]上单调递减, ∴f(x)min=f(e)=e(1-a), f(x)max=f(1)=-a,即A=[e(1-a),-a], ∴解得-2e≤a≤1,不满足条件,舍去. 当1
