专题强化练11 圆锥曲线中的最值与范围问题的解法 1.已知双曲线C:-y2=1的左焦点为F,点M在双曲线C的右支上,A(0,3),当△MAF的周长最小时,△MAF的面积为( ) A. B.9 C. D.4 2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( ) A.4 B. C.5 D.4+ 3.设F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为 . 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点.D为OA的中点(O为坐标原点),B,D在y轴上的投影分别为P,Q,则|PQ|的最小值是 . 5.已知椭圆+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+t对称,则实数t的取值范围是 . 6.已知直线l经过抛物线C:y=的焦点,与抛物线交于A,B两点,且xA+xB=8,点D是抛物线的一段弧(O为原点)上一动点,以点D为圆心的圆与直线l相切,当圆D的面积最大时,圆D的标准方程为 . 7.已知动圆E与圆M:(x-1)2+y2=外切,并与直线x=-相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点Q(-2,0)的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得∠APB=90°,求直线l的斜率k的取值范围. 8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点,其一个焦点为(,0). (1)求椭圆C的方程; (2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求的取值范围. 9.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PG,G为垂足,=.当点P在圆上运动时,点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点Q(-1,0)的两条相互垂直的直线分别交曲线E于A,B和C,D,求四边形ACBD面积的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.A 设C的右焦点为F',由题意可得a=2,c=3, 因为|MF|-|MF'|=2a=4,所以|MF|=|MF'|+4,易得|AF|=3,所以△MAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF'|+7≥|AF'|+7=10,即当A,M,F'三点共线,且M在线段AF'上时,△MAF的周长最小, 易得直线AF'的方程为y=-x+3,联立解得y=或y=-1(舍去),即此时M的纵坐标为,故△MAF的面积为|FF'|·|OA|-|FF'|·|yM|=×6×=.故选A. 2.B 由题意可得解得 所以椭圆的方程为+=1, 易得F1(-2,0),设P(x,y),则+=1,即x2=8-2y2,-2≤y≤2, 则·=(2-x,-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-y=-y2-y+4=-+,当且仅当y=-时,·取得最大值,为,故选B. 3.答案 解析 设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM, 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=2, 由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=|PF2|, 又∵|QM|=|PF1|, ∴|OQ|≤|OM|+|QM|=|PF1|+|PF2|=×2a=a=,当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为. 4.答案 4 解析 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+2,联立整理得y2-8my-16=0, 则y1+y2=8m,y1y2=-16,因为D为OA的中点,所以D,则Q,P(0,y2),从而|PQ|=|OP|+|OQ|=|y2|+≥2=4,当且仅当|y2|=,即y1=4,y2=-2或y1=-4,y2=2时,等号成立. 5.答案 解析 设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,设AB的中点为M(x0,y0),则M在直线y=x+t上,且kAB=-1,故可设直线AB的方程为y=-x+b,联立整理可得3x2-4bx+2b2-2=0,由Δ=16b2-12(2b2-2)>0,可得-0,因为圆D与直线l相切,所以圆D的面积 ... ...
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