专题强化练6 圆的方程及其应用 1.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-或 B.-或- C.-或 D.-或- 2.已知圆C的圆心在直线y=-6x上,且圆C与直线l:x-y-1=0相切于点P(3,2),则直线3x-4y+7=0被圆C截得的弦长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.直线l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0与圆(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,a的值是( ) A. B.- C.- D. 4.(多选)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+1=0相交于A,B两点,下列说法正确的是( ) A.圆O与圆M有两条公切线 B.圆O与圆M关于直线AB对称 C.线段AB的长为 D.若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为4+ 5.(多选)已知曲线C的方程为=|x+2y|,圆M:(x-5)2+y2=r2(r>0),则( ) A.曲线C表示一条直线 B.当r=4时,曲线C与圆M有3个公共点 C.当r=2时,存在圆N,使得圆N与圆M相切,且圆N与曲线C有4个公共点 D.当曲线C与圆M的公共点最多时,r的取值范围是(4,+∞) 6.一个圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为 . 7.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,与x轴分别交于C,D两点,若|AB|=2,则m= ,|CD|= . 8.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=4,圆心C在直线y=x上,且直线x+y=2被圆C截得的弦长为2. (1)求圆C的方程; (2)若a≤0,点A(0,1),过A作直线l和l1,且满足l⊥l1,直线l交圆C于M,N两点,直线l1交圆C于P,Q两点,求四边形PMQN面积的最大值. 答案与分层梯度式解析 1.D 根据光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),易知反射光线所在直线的斜率存在,设为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,由反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,可得=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.故选D. 2.D 设圆心C(m,-6m),因为圆C与直线l:x-y-1=0相切于点P(3,2),所以=,所以m=-1,所以C(-1,6),半径r==4, 所以圆心C到直线3x-4y+7=0的距离d==4,所以所求弦长为2=2×=8,故选D. 3.D 易知直线l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0恒过定点(1,1),且此定点在圆内,∴当圆心与点(1,1)的连线与直线AB垂直时,|AB|取得最小值.∵圆心(2,0)与点(1,1)连线的斜率为=-1,∴此时直线l的斜率为1,即-=1,解得a=,故选D. 4.ABD 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,圆M:x2+y2+4x-2y+1=0,即(x+2)2+(y-1)2=4,其圆心为M(-2,1),半径R=2.对于A,因为圆O与圆M相交,所以它们有两条公切线,故A正确;对于B,两圆方程相减得4x-2y+5=0,即直线AB的方程为 4x-2y+5=0,因为圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)关于直线AB对称,且两圆半径相等,故B正确;对于C,由B的结论可知,|AB|=2=2=,故C错误;对于D,若E,F分别是圆O和圆M上的点,则|EF|的最大值为|MO|+r+R=+4,故D正确.故选ABD. 5.BC 由=|x+2y|,得x2+y2=x2+4xy+4y2,即y(4x+3y)=0,则曲线C表示两条直线,其方程分别为y=0与4x+3y=0,所以A错误;因为M(5,0)到直线4x+3y=0的距离d==4,所以当r=4时,直线4x+3y=0与圆M相切,易知直线y=0与圆M相交,故曲线C与圆M有3个公共点,所以B正确; 当r=2时,存在圆N,使得圆M内切于圆N,且圆N与这两条直线都相交,即圆N与曲线C有4个公共点,所以C正确;曲线C与圆M最多有4个公共点,当r=5时,圆M与直线y=0相交,交点分别为(0,0),(10,0),与直线4x+3y=0相交,交点分别为(0,0),,此时曲线C与圆M的公共点的个数为3,所以D错误.故选BC. 6.答案 x2+(y+2)2=10 解析 由解得或所以交点分别为和(1,1),不妨设A,B(1,1),易得直线AB的斜率为-,线段AB的中点为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=2,即y=2x-2,又因为圆心在y轴上,所以圆心为(0,-2),所求圆的半径为圆心到交点B的距离,即=,则所求圆的方程为x2+(y+2)2=1 ... ...
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