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课件网) 4.5 一元二次方程根的判别式 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的个数由代数式 的值的符号决定,因此把 叫做一元二次方程根的判别式,通常用Δ表示,即Δ= . 2.一元二次方程根的情况 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况: (1)当Δ>0时,方程有两个 的实数根; (2)当Δ=0时,方程有两个 的实数根; (3)当Δ<0时,方程 实数根. b2-4ac b2-4ac b2-4ac 不相等 相等 没有 考点梳理 利用判别式判断方程根的情况 [典例1](2023菏泽模拟)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0. (1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)当方程根的判别式等于5时,m= . (1)证明:Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4. ∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,即Δ>0, ∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)解:0或-2 [变式1](2022安顺)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b= (a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是( ) A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 B [变式2]关于x的一元二次方程x(x+3)=3x-3的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 D 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac的关系 (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当Δ<0时,方程无实数根. 上面的结论反过来也成立. 根据判别式确定字母的取值范围 [典例2](2022广州)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)·(2a-3b)+a2. (1)化简T; (2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,求T的值. 解:(1)T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2=6a2+6ab. (2)∵关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2a)2-4(-ab+1)=0, ∴a2+ab=1,∴T=6×1=6. [变式3](2023张家界)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 . [变式4](2023贵州)若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数根,则k的值是 . a>-1 谢谢观赏！(
课件网) 4.7 一元二次方程的应用 第1课时 面积问题与利润问题 栏目导航 知识梳理 考点梳理 知识梳理 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审题;(2)设 ;(3)列 ;(4)解方程;(5)检验根是否符合实际情况,确定未知数的值;(6)作答. 2.利润问题 (1)售价-进价= ; 未知数 方程 利润 总利润 销售额 考点梳理 面积问题 [典例1](2023坊子质检)如图,在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建道路(图中阴影部分),余下部分铺设草坪,要使得草坪的面积为243平方米,则可列方程为( ) A.28×10-28x-10x=243 B.(28-x)(10-x)+x2=243 C.(28-x)(10-x)=243 D.2(28-x+10-x)=243 C [变式1](2022青海)如图,小明同学用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形,将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm,则可列出关于x的方程为 . (11-2x)(7-2x)=21 [变式2](2023济南质检)有本长为26 cm、宽为18.5 cm、厚为1 cm的数学书.小明用一张面积为1 120 cm2的矩形纸包这本数学书,书皮展开后示意图如图,图中虚线为折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的小正方形,小正方形的边长即为折叠进去的宽度,设小正方形的边长(即折叠进去的宽度)为 x cm,求x的值 ... ...
