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课件网) 第2章 解直角三角形 九年级上册 2.4 解直角三角形 课前小测 在Rt△ABC中,∠C=90 ，若AB=5，AC=2.5，则∠A= , ∠B=_____. 2. 在Rt△ABC中,∠C=90 ，若∠B=30°，AC=3，则AB=_____,BC=_____. 60° 30° 6 情境引入 问题：直角三角形中的元素之间什么关系？ 情境引入 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .共有六个元素，三条边和三个角.其中有一个角是直角，固定不变. 问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2 . 问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90°. 问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 情境引入 a2+b2=c2，∠A+∠B=90°. 解直角三角形：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 观察交流：观察上面问题的结论，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？ 两个还是三个呢？咱们来探究一下. 合作探究 探究一： 已知直角三角形的两个锐角能解直角三角形吗？ 由相似三角形的知识可知，两个锐角分别相等的三角形相似，这样大小不同的相似三角形能画出无数个，所以不能解直角三角形. 不能. 合作探究 探究二：已知直角三角形的两边，能解直角三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠C＝90°， ， ，能求出其他未知的边和角吗？ 典例分析 [例1] 在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， a = 17.5， c = 62.5 . 解这个直角三角形. 解：∵ a 2 + b 2 = c 2， ∴ b = 由 sin A = ∠ A ≈ 16° 15' 37'' . ∴ ∠ B = 90° -∠ A = 90° -16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' . =0.28,得 如果已知直角三角形的两条直角边，如何解直角三角形呢？与同学交流. 直角边的比跟正切有关，所以 “有斜用弦”“无斜用切”，同样可以求出角的度数. 归纳小结 在直角三角形中，已知两边，定能解直角三角形. （1）已知斜边c和直角边b，则 （2）已知直角边a和b，则 合作探究 探究三：已知直角三角形的一边和一角能解直角三角形吗？ 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A=65°，a=5，能求出其他未知的边和角吗？ 当知道一边和一角时，可以解直角三角形.如果三角比不是特殊值，可以用计算器求角. [例2] 典例分析 在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， c = 128， ∠ B = 52°. 解这个直角三角形（边长精确到 0.01）. 解：在 Rt△ ABC 中，由∠ C = 90°， ∠ B = 52°，得 ∠ A = 90° -∠ B = 90° - 52° = 38°. 由 ，得b = c· sin B = 128· sin 52° ≈ 100.87； ，得a = c· cos B = 128· cos 52° ≈ 78.80 . 如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，如何解直角三角形呢？ 用“有斜用弦，无弦用切”的原则，同样可以解直角三角形. 归纳小结 在直角三角形中，除直角外，再知道一角一边就可以解直角三角形. 选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确. （1）已知斜边c和锐角A，则 （2）已知锐角A和其对边a，则 （3）已知锐角A及其邻边b，则 合作探究 探究四：如何求非直角三角形的边和角 [例3]如图，在△ ABC 中，已知∠ A = 60°， ∠ B= 45°， AC = 20，求 AB 的长. 交流：△ ABC不是直角三角形，怎么办？ 作AB 边上的高，可把问题转化为解直角三角形的问题. 解：过点 C 作 CD⊥ AB，垂足为点 D（如图）. 在 Rt△ ACD 中， AC = 20， ∠ A = 60°. 归纳小结 将非直角三角形转化为解直角三角形的问题，转化的手段是作辅助线，作辅助线的最常见的方法是作高，作出辅助线后，例如在例3中求AB的长，转化为在两个直角三角形中，于是问题归结为解Rt△ADC的问题. 拓展 如图，∠ B = 45°， BC = 2，试用含∠ A 的三角比的式子表示 AB 的长. D 随堂检测 解直角 ... ...
