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课件网) 第3章 对圆的进一步认识 九年级上册 3.1 圆的对称性 第2课时 弧、弦、圆心角之间的关系 课前小测 垂径定理及推论总结出的知二推三的内容是？ 一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三. 2. 如图，在⊙O 中，已知AB是直径，AB⊥CD. （1）若AB=10，OE=3，则CD=_____,AE=_____. （2）若OE=3，CD=8，则AB=_____,AE=_____. （3） 若AE=2，CD=8，则OE=_____,AB=_____. 8 2 10 2 3 10 情境引入 1.任意画一个圆，将圆围绕圆心旋转任意角度，你有什么发现？ 围绕圆心旋转任何一个角度，都与原来的圆重合.因此具有旋转不变性. 2.是中心对称图形吗？对称中心是哪个点？ 是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 3.什么是圆心角？ 如图，在⊙ O 上任取两点 A 与 B，连接 OA， OB，得到∠ AOB . 像∠ AOB 这样，顶点在圆心的角叫做圆心角. 情境引入 问题：今天我们来探究圆中弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系. 合作探究 探究一：圆心角、弧、弦的关系定理 任意画一个⊙O，在⊙O 内画圆心角∠ AOB =∠ A'OB' . 连接 AB， A'B' .作AB和A'B'的弦心距OC和OC′. C C′ └ └ (1)以点O为旋转中心，逆时针旋转，旋转角为∠AOA′，OA和OA′重合，这时OB和OB′重合吗？ 解：∵∠ AOA' =∠ AOB +∠ BOA' ， ∠ BOB' =∠ A'OB' +∠ BOA' ，∠ AOB =∠ A'OB'， ∴∠ AOA'=∠ BOB' . ∵旋转后半径 OA 与 OA' 重合， ∴半径 OB 与 OB' 重合. 合作探究 探究一：圆心角、弧、弦的关系定理 归纳小结 这就是说，在同圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等,相等弦上的弦心距也相等. 利用旋转的基本性质还可以得出：在同圆中，如果 ，那么∠ AOB=∠ A'OB’， 弦 AB = A‘B, 弦心距OC=OC′’；反之，如果弦 AB = A’B’，那么∠ AOB =∠ A'OB'， AB= A'B' .这些结论在等圆中也成立. = 关系定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 几何语言：∵∠ AOB =∠ A'OB'， ∴ ，AB = A'B'， OC=OC′. 注意：不在同圆或等圆前提下，由两条弧相等得到其余各组量分别相等也成立，但由其他的推出其余各组量相等必须在同圆或等圆中才成立. 典例分析 [例1] 如图， AB 与 DE 是⊙ O 的两条直径， C 是⊙ O 上一点，AC∥DE . 求证：（1） ；（2）BE=EC. 证明：（1）连接 OC . ∵ AC∥DE， ∴ ∠ AOD =∠ OAC，∠ COE =∠ OCA . ∵ OA = OC ， ∴ ∠ OAC =∠ OCA . ∴ ∠ AOD =∠ COE . ∴ . （2）∵ ∠ AOD =∠ BOE， ∴ ∠ BOE =∠ COE . ∴ BE = CE . D E C 合作探究 探究二：圆心角的度数与所对弧的度数的关系 问题1：把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份圆心角的度数是多少？ 每一份圆心角的度数是1°. 合作探究 问题2：把顶点在圆心的周角等分为 360 份时，整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？为什么？ 整个圆被分成了360份，整个圆的 叫做 1°的弧. 因此，1°的圆心角所对的弧是 1°的弧； 反之， 1°的弧所对的圆心角是 1°的角. 一般地， n°的圆心角所对的弧是 n°的弧； 反之，n°的弧所对的圆心角是 n°的角（如图 ）. 由此可见，圆心角与它所对的弧有以下关系： 圆心角的度数与它所对弧的度数相等. [例2] 典例分析 如图， OA， OC 是⊙O中两条垂直的半径， D 是⊙O上的一点.连接 AD 并延长与 OC 的延长线相交于点 B， ∠B = 25°. 求弧 AD，弧CD 的度数. 解：连接 OD . 由已知∠ AOB = 90°， ∠ B = 25°，得 ∠ A = 65°. ∵ OA = OD，∴ ∠ ODA =∠ A = 65°. 于是 ∠ DOA = 180° -（ ∠ ODA +∠ A） = 180° -（ 65° + 65 ... ...
