中小学教育资源及组卷应用平台 可分离参数隐零点 【例1】已知函数，证明：函数存在唯一的极大值点，且． 【详解】证明：，则， 令，则，易知在单调递减， 又，（1）， 故存在，使得， 且当时，，单调递增，当，时，，单调递减， 由于，（1），（2）， 故存在，使得， 且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即， 则， 令，则， 故在上单调递增， 由于，故（2），即，． 【例2】 已知，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】分离参数，对任意的恒成立 记，则， 记，则，易知在上恒成立， 在上单调递增，且，（1）， 存在，使得，且当时，即， 函数在上单调递减； 当，时，即，故在，上单调递增， ，即， 又，故，即，即， 由知函数在上单调递增， ，， ．综上，实数的取值范围是，． 变式1已知，在上恒成立，为整数。求的最大值． 变式2 已知，在上，恒成立，求实数的取值范围. 不可分离参数隐零点代换参数 【例3】已知函数，对任意，恒成立，求的取值范围 【答案】． 【详解】设，则， 设，则， 因为在上递增， 所以当时，，当时， 所以在上递减，在上递增， 所以， 令，则 所以在递减， 因为，所以，所以． 变式3已知函数恒成立，求实数的取值范围． 【例4】已知恒成立，求的取值范围. 【答案】{1} 【详解】令函数，则 ①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意， ②当时，由 可得 即 令，则在区间上恒成立 所以在区间上单调递增，又因为， 所以存在，使得，两边同时取对数可得， 则当时，，即，当时，，即， 所以当时，， 故要使恒成立，只需， 令，则， 由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，即， 所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为. 变式4 函数．证明：当时，． 【例5】 函数，有且仅有一个零点，求实数的值． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以令的根为，则，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为， 因为函数有且仅有一个零点，所以，即， 又，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又因为时，，所以有唯一解， 将代入，可得. 变式5 已知函数有两个相异的零点，求的取值范围． 课后作业 1．已知函数，当时，证明． 已知函数，其中.若是的极小值点，证明:. 3．已知函数，试判断函数零点的个数． 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 可分离参数隐零点 【例1】已知函数，证明：函数存在唯一的极大值点，且． 【详解】证明：，则， 令，则，易知在单调递减， 又，（1）， 故存在，使得， 且当时，，单调递增，当，时，，单调递减， 由于，（1），（2）， 故存在，使得， 且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即， 则， 令，则， 故在上单调递增， 由于，故（2），即，． 【例2】 已知，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】分离参数，对任意的恒成立 记，则， 记，则，易知在上恒成立， 在上单调递增，且，（1）， 存在，使得，且当时，即， 函数在上单调递减； 当，时，即，故在，上单调递增， ，即， 又，故，即，即， 由知函数在上单调递增， ，， ．综上，实数的取值范围是，． 变式1已知，在上恒成立，为整数。求的最大值． 【详解】令，， 令，则， 所以在上单调递增， 而（3），（4），所以存在，使得，即， 故，且时，，，，， 即在上单调递减，在，上单调递增， 所以的最小值为，所以， 因为，，即的最大值为3．所以，的最大值为3． 变式2 已知，在上，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】， 记，则恒成立， 所以在上单 ... ...
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