中小学教育资源及组卷应用平台 特殊点效———分类讨论函数的图像 【题型一】端点效应 特征：代入区间端点使不等式取到等号。 原理：满足端点效应的恒成立问题。例如：，不能用分离参数的方法，只能找出函数的最值。而函数的最小值有可能在两个位置取到，一个是（左右）端点处（即此时函数单调），另一个是极小值（此时函数不单调）。所以就必须要先去讨论含参函数的单调性，找出最小值，并让其，求出范围。 【例1】已知函数．对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】同除x之后，令，在恒成立， ①当时，恒成立，故在上单调递增，所以，显然不合题意； ②当，在上单调递减，故，显然符合； ③当时，在单调递增，单调递减，由于，故存在，，故不满足.综上，实数的取值范围为 【例2】已知函数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】（1）当时，因为，所以，所以. 记，则， 令，则. 因为当时，，所以在区间上单调递增，所以，， 所以，在区间上单调递增，所以，，所以. （2）当时，，因为当时，， 令，则， ①若，则，即在区间上单调递增. ②若，则，所以在区间上单调递增. 所以当时，在区间上单调递增. 因为，，所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意. 综上可知，实数的取值范围为. 变式1已知函数.若对任意的，都有成立，求的范围. 【详解】对任意的，要使成立，只需任意的，. 又由， ①当时，即时，在上是增函数，所以只要，从而，所以满足题意； ②当时，即时，， 所以在上是减函数，上是增函数， 从而时，与矛盾，故不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 变式2 已知，若在上恒成立，求a的范围. 【详解】， 令， i）当时，，在上单调递减，∴，舍. ii）当时，令或， ①当时，， 若，则，若，则， 在上是减函数，在上是增函数， 所以在上，，即在上不恒成立. ②时，，当时，，在增函数，又，所以. 综上所述，所求a的取值范围是 【例3】设函数。当时，，求的取值范围。（两次端点效应） 【详解】已知，，且满足， 此时我们需要讨论的图像，， 当时，在上恒成立，则在，，则恒成立， 在，则，故恒成立； 当时，令，，则在，， ，则，当，， 故，使得，则在， 则，故不成立；则舍去； 综上得的取值范围为。 变式3已知函数．当时，，求的取值范围． 【答案】 【详解】；，； 设， 则， ①当，即时，，故在上为增函数， 故，即，所以在上为增函数，故. ②当，即时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍. ③当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【例4】已知函数.若，，求a的取值范围．（三次端点效应） 【详解】 ,，满足端点效应； ,，又满足端点效应； ,，再次满足端点效应； ,； 接下来从的图像开始讨论： 当时，,，， 使得。则在，， 又,， 在上，恒成立 在，又,， 在上，满足恒成立；在； 在上，恒成立。则成立。 当时，,，， 使得。则在，； 又,，， 在，， 又,； 在；，，故舍去 【总结】基于定点讨论出导函数的所有可能图像，从而推导出原函数的所有可能图像，并从中选择出满足题目要求的图像，即对应参数的取值范围。 变式4 设，存在实数使得对恒成立，求的最大值． 【答案】1 【详解】由题知，所以当时，， 由此可知，当时，有对恒成立， 下面证明：当时，对不恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 令，即， 解得或． 因为当时，，故舍去， 所以当时，，得在上单调递减，故，即， 从而在上单调递减，故，即， 因此在上单调递减，所以，矛盾， 所以当时，对不恒成立， 综上，的最大值是1． 【题型二】端点效应与三角函数 【例5】已知函数．.若恒成立，求的取值范围。 【详解】方法一（讨论单调性） ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
