第5章 导数及其应用 5.1 导数的概念 5.1.1 平均变化率 新课导入 某市某年4月20日最高气温为,而4月19日和4月18日最高气温分别为和,短短两天的时间，气温陡增，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温，与4月18日最高气温进行比较，发现温度相差，甚至超过了，而人们不会发出上述感叹.本节课我们一起来探究其中的原因. 学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率. 2.了解平均变化率概念的形成过程，能在具体情境中说明平均变化率的实际意义. 新知学习 探究 一 函数的平均变化率及其几何意义 思考1．函数的平均变化率定义中，是否必须是正数？ 提示 可以是正值，也可以是负值，但不可以为0. 思考2．函数在某区间上的平均变化率为0是否说明函数值在此区间上都相等？ 提示 函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等． ［知识梳理］ 1．函数的平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 2．平均变化率的意义 平均变化率是曲线陡峭程度的“②_ _ _ _ _ _ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 【答案】数量化 ［例1］ （1） 在曲线的图象上取一点及附近一点，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数，分别计算在自变量从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【答案】（1） C （2） 【解】由题意得，自变量 从1变到2时，函数 的平均变化率为;自变量 从3变到5时，函数 的平均变化率为 . 因为，所以函数 在自变量 从3变到5时函数值变化的较快． 【解析】 （1） 选．由已知得．故选． （1）求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量； ②求函数值的增量； ③求函数值的增量与自变量的增量的比值. （2）求平均变化率的一个关注点 求点附近的平均变化率，可用的形式求解. ［跟踪训练1］． （1） 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ） A. B. C. D. 都不对 （2） 函数从到的平均变化率为_ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） 3 【解析】 （1） 选．由题意知.故选. （2） 因为， 所以函数 从 到 的平均变化率为. 二 实际问题中的平均变化率 ［例2］ （1） 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例2）如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，后容器甲中水的体积（单位：），则第一个内的平均变化率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．，结果保留三位小数 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 如图，分别令，，，，所对应的点为，，，，，由图可知， 所以在 时间段内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选. （2） 在区间 上，体积 的平均变化率为， 即第一个 内容器甲中水的体积的平均变化率为（负号表示容器甲中的水在减少）． （1）用平均变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出. （2）变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的大小反映该变化过程的快慢. ［跟踪训练2］．已知一质点作直线运动，其位移与时间的关系为，该质点在2到之间的平均速度不大于5，求的取值范围. 解：易知质点在2到 之间的平均速度为 , 又,则，所以,又, 所以.所以 的取值范围是. 三 平均变化率的应用 ［例3］ 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，在当地用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受 ... ...
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