第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆的标准方程 新课导入 生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 4.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程. 新知学习 探究 一 椭圆的定义及应用 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹. 思考1．在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示 笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考2．在这一过程中，绳子的长度与两定点，间的距离有何关系？ 提示 绳子的长度大于两定点，间的距离. ［知识梳理］ 1．定义：平面内到两个定点,的距离之和等于①_ _ （大于）的点的轨迹叫作椭圆. 【答案】常数 2．焦点：两个定点②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 , 3.焦距：两个焦点间的距离. 4．几何表示：③_ _ _ _ _ _ （常数），且④_ _ . 【答案】； ［例1］ （1） 已知,，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 点 （2） 已知,为椭圆的焦点且，，是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过点，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】（1） C （2） D 【解析】 （1） 因为,，所以，知点 的轨迹是线段. （2） 由于 为直径的圆经过 点，所以， 不妨设,则， 由椭圆定义可得,,, 由勾股定理可得 和， 即 和，解得,， 故 的周长为. 椭圆定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义中的条件（即到两焦点的距离之和为常数），题目中遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·南京期中）]若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，则椭圆的焦距的长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】（1） C （2） B 【解析】 （1） 选.因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即. （2） 选.由椭圆 的左、右焦点分别为，，可得,，则，则. 二 椭圆的标准方程 思考1．在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示 坐标系不同，得到的圆的方程不相同. 思考2．类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？ 提示 结合图形的对称性，以 所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单. ［知识梳理］ 焦点位置 在轴上 在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,,的关系 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 【答案】； ； ［例2］ （对接教材例1、例2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点，； （2） ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为26. 【答案】 （1） 【解】由题意知，椭圆的焦点在 轴上，且. 方法一:由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于， 所以, 所以，所以，故椭圆的标准方程为. 方法二：可设椭圆方程为， 将，代入此方程为，解得（负值已舍去），故椭圆的标准方程为. （2） 由题意知，， 即，又，所以，所以，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为 或. 求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定,的值，结合焦点位置写出椭圆方 ... ...
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