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课件网) 苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 学习目标 用一个平面去截圆锥，当平面经过圆锥的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变平面与圆锥轴的夹角时，观察截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 情景导入 椭圆 双曲线 抛物线 设椭圆C的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点 P到F1，F2 的距离之和为2a（2a＞2c）． 如何求椭圆C的方程？ P F1 F2 新知探究 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)． 步骤一：建立直角坐标系． x y O P F1 F2 步骤二：设动点坐标． 设椭圆上任意一点P的坐标为（x，y）， 步骤三：列等式． 根据椭圆定义知：PF1＋PF2＝2a， 步骤四：代入坐标． 即 ． 步骤五：化简方程 两边再平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 移项，得 ． 两边平方，得 整理得 步骤五：化简方程 因为a2(a2－c2) ≠0，所以两边同除以a2(a2－c2) ，得 又因为a2－c2＞0，所以可设a2－c2＝b2（b＞0），得 （a＞b＞0）． 由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程.可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上. x y O F1（0，－c），F2（0，c）； PF1＋PF2＝2a； (x，y) 怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？ 如何根据标准方程，判断焦点在哪个坐标轴上？ （a＞b＞0） （a＞b＞0） P(x，y) P(x，y) 椭圆的焦点位置可由方程中x2与y2的分母的大小来确定，焦点在分母大的项所对应的坐标轴上． F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 以上两种方程都叫作椭圆的标准方程(standard equation ofellipse),其中b =a -c 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 概念归纳 例1.已知椭圆的两个焦点分别是F1(-3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程． 课本例题 【变式1】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F1(-1，0)，F2(1，0)，椭圆上一点M 到F1，F2的距离之和为4，求该椭圆的标准方程． 课本例题 A 【解析】解：(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为F1(0，-2)，F2(0，2)，即c=2， 例3.将圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线． 课本例题 典例剖析 题型一:根据椭圆方程求参数的取值范围 例(1)若方程 表示椭圆,则实数m的取值范围是( ) A.(-9,25) B.(-9,8)∪(8,25) C.(8,25) D.(8,+∞) (2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 . 归纳总结 根据椭圆方程求参数的取值范围 题型二：椭圆中的焦点三角形问题 典例剖析 思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积. 即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|, ∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|, ∴122=202-3|PF1|·|PF2| ... ...
