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课件网) 3.7切线长定理 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． B A 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数. 50° 130° O P O A B P 如何用圆规和直尺 作出这两条 切线呢？ . 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上 O · P A B O 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线长概念 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. O P A B 比一比： 切线与切线长 O A B P 1 2 思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么 折一折 请证明你所发现的结论. A P O B PA=PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 证一证 切线长定理 ∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB. 过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等. 几何语言: O P A B 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 PA =PB ∠OPA=∠OPB A P O B 若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明. OP垂直平分AB M 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. 试一试 A P O . B 若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明. CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC. C . P B A O （3）连接圆心和圆外一点 （2）连接两切点 （1）分别连接圆心和切点 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 想一想 探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. B A P O C E （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC D △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB （3）写出图中所有的全等三角形 B A P O C E D 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等； 内心与顶点连线平分内角。 O A B C 三角形的内切圆 例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。 C B A E D F O r 解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，由切线长定理知 AE=AF,CE=CD,BD=BF ∴AF+BD+CE= (AB+AC+BC) ∵BD+CE= ∴AF=18-9=9 BD+CD= BC=9 =18 ∴BD=AB-AF=13-9=4 ∴CE=BC-BD=9-4=5 【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 【解析】 设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. 【例题】 【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切 ... ...
