湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列习题课1等差数列性质的应用课件(共46张PPT)+学案

习题课1　等差数列性质的应用 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，能运用等差数列的性质简化计算，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题，提升数学建模的核心素养. 应用一　由等差数列构造新等差数列 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A.15　　　　 B.16　　　　 C.17　　　　 D.18 答案：B 解析：易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N＋，所以n的最大值为16. 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数. 对点练1.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　. 答案：12n－1　25 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 应用二　等差数列中任意两项之间的关系 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解：法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 1.an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； 2.an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； 3.d＝(m，n∈N＋，且m≠n). 对点练2.已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　　　　. 答案：8 解析：法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d， 则d＝＝＝2， 所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. 所以b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 应用三　等差数列中对称设项法的应用 已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这4个数. 解：设此四个数分别为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题意可得：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝20，＝24. 解得a＝5，d＝±1. 所以这四个数为2，4，6，8或8，6，4，2. 常见设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； 2.三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； 3.四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 对点练3.已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的公差为d，则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 解得 因为数列为递增数列，所以 所以等差数列的通项公式为an＝4n－1. 应用四　等差数列的实际应用 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题. (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说 ... ...