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课件网) 第一章 数列 *1.4 数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，培养逻辑推理的核心素养. 任务一 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题时，可采用下面两个步骤进行： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的所有正整数n，命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 新知构建 典例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. (2) 假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)和(2)可知， 对于一切n∈N＋等式成立. 规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项. 返回 任务二 用数学归纳法证明不等式问题 典例2 规律方法 1.对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 规律方法 返回 任务三 归纳—猜想—证明 典例3 规律方法 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节 规律方法 2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 对点练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋). (1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 返回 返回 随堂评价 √ 2.某个命题与正整数n有关.如果当n＝k＋1(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k时命题也成立.现已知当n＝2 019时该命题不成立.那么可推得 A.当n＝2 020时该命题不成立 B.当n＝2 020时该命题成立 C.当n＝2 018时该命题不成立 D.当n＝2 018时该命题成立 √ 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝2 019不成立，P(n)对n＝2 020也不成立.否则，n＝2 020成立.由已知推得n＝2 019也成立.与当n＝2 019时该命题不成立矛盾. (k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 返回 课时测评 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步应验证 A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立.因为n≥3，n∈N＋，所以第一步应验证n＝3.故选C. √ 2.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为 A.2 B.4 C.8 D.16 √ f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8. √ √ 5.若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立.现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有 A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不 ... ...
