中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.2 指数函数 教学目标 1.了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数。 2.掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 3.能解决与指数函数有关的综合性问题。 教学重难点 1.重点：会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 2.难点：掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式 知识点01 指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 【即学即练】 1．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 2．已知函数，满足，则 ． 【答案】2 【详解】由①， 用替换，得②， ②×2－①，得，得. 所以，. 故答案为：2 知识点02 指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【即学即练】 1．已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在定义域上为增函数， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，因为为奇函数，所以函数的图像关于对称， 又当时，，易知函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 又，可知在上单调递增， 所以可化为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C． 知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大）时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 【即学即练】 1．如图，曲线是对数函数图象，已知a的取值分别为，则相应的曲线对应的a的值依次为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法1 对数函数的曲线在第一象限部分，随着底数a的增大而逆时针旋转，故．即只有B符合． 解法2 取知，直线与四条曲线交点的横坐标满足，得．故B符合． 2．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用特值法求解，取，可知． 题型01：指数函数定义的判断 【典例1】已知函数，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】函数，则， 所以. 故选：D 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 【变式1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 【变式2】“”是“为指数函数”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为指数函数； 当为指数函数时，即，只需； 所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件. 故选：C 【变式3】已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 任设，则， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值为， 当时，， 令，则，所以，开口向上，对称轴， 又因为函数的最小值为，即时，取最小值， 所以，解得, 故选：A. 题型02：利用指数函数的定义求参数 【典例1】若函数是指数函数，则等于（ ） A ... ...
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