专题4.3 对数（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册（含答案）高一数学高效培优讲义

中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.3 对数 教学目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质。 2.掌握指数式与对数式的互化，能进行简单的对数运算。 3.理解对数的运算性质和换底公式，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。 4.能利用对数的运算性质进行解方程及与指、幂函数的综合应用问题的解决。 教学重难点 1.重点：掌握对数的概念及对数条件 2.难点：熟练掌握指对数形式的互化，准确利用对数的运算法则进行对数式子的化简与运算，会解决与对数相关的综合问题. 知识点01 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：_____．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、对数（且）具有下列性质： （1）_____没有对数，即； （2）1的对数为0，即_____； （3）底的对数等于1，即_____． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练】 1．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（ ） （参考数据：） A．4 B．5 C．7 D．8 知识点02 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；_____ 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；_____ （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；_____ 【即学即练】 1．已知正实数，满足，，，则的最大值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 知识点03 对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 _____才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【即学即练】 1．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ） A． B． C． D． 2．使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型01：对数的定义 【典例1】已知为单调函数且对任意实数x都有，则（ ） A． B． C． D．0 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 【变式1】若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2】定义在上的函数满足，则 . 【变式3】已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①③ C．①④ D．①③④ 题型02：指数式与对数式互化及其应用 【典例1】已知，则下列正确的是（ ） A． B． C． D．以上均不正确 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式1】已知函数则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 题型03：利用对数恒等式化简求值 【典例1】若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】求值： (1)； (2)． 【变式2】设，且，利用 ... ...