专题4.4 对数函数（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册（含答案）高一数学高效培优讲义

中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.4 对数函数 教学目标 1.理解对数函数的概念及条件，掌握对数函数的图象与性质。 2.会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。 教学重难点 1.重点：掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小 2.难点：会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题. 知识点01 对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 【即学即练】 1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故A错误； B，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故B错误； C，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故C错误； D，因，则，故定义域为， ，则为奇函数， 且， 则 因，则， 又，， 则 ， 则，即， 则，即， 则是上的增函数，故D正确. 故选：D 2．下列函数中，定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 知识点02 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 【即学即练】 1．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 2．已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 知识点03 底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 【即学即练】 1．函数的图象如图所示，则a的值可以是（ ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以， 由选项可知A正确. 故选：A. 2．已知对任意，（且）均有意义，则函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为当时，均有意义，所以，所以， 当时， 令，可得在上单调递减，单调递增， 所以在上单调递减， 设函数，则， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A符合题意. 故选：A. 知识点04 反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． ... ...