北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何3.1空间向量基本定理课件(共58张PPT)+学案

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基向量表示空间向量.　2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　空间向量基本定理 问题.如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用a，b，c表示呢？ 提示：如图所示，设在a，b所确定的平面上的投影向量，则＝＋.又向量，c共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zc，从而＝＋zc.在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.从而＝＋zc＝xa＋yb＋zc. 1.空间向量基本定理 (1)条件：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量. (2)结论：存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2.基 (1)条件：三个向量a，b，c不共面. (2)结论：{a，b，c}叫作空间向量的一组基.其中a，b，c都叫作基向量. [微提醒]　(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 若{a，b，c}是空间向量的一组基，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间向量的一组基. 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}是空间向量的一组基， 所以a，b，c不共面， 所以方程组无解. 即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， 所以a＋b，b＋c，c＋a不共面. 故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间向量的一组基. 判断一组基的基本思路和注意问题 1.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成一组基；若不共面，则能构成一组基. 2.注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为一组基；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成一组基. 对点练1.{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基. 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立， 所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得＝x＋y， 所以，，不共面. 所以{，，}能作为空间向量的一组基. 任务二　用基向量表示空间向量 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用a，b，c表示向量，. 解：＝＋＝＋＋)＝＋＋ ＝＋－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c). 连接A'N(图略). ＝＋＝＋＋) ＝＋＋)＝a＋b＋c. [变式探究] (变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以＝＋)＝a＋b. ＝＋)＝＋＋) ＝＋＋ ＝＋－)＋ ＝＋－＝a＋b－c. 用基向量表示空间向量的步骤 第一步(定基)：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基； 第二步(找目标)：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 第三步(下结论)：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所 ... ...