2025-2026学年人教版数学九年级上册 22.2 二次函数与一元二次方程 预习讲义 思维导图 学习目标 理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数图象与x轴交点的意义。 会用判别式Δ判断二次函数图象与x轴的交点个数。 能通过二次函数图象求一元二次方程的近似解。 会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。 知识点梳理 1. 二次函数与一元二次方程的关系 联系：二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax +bx+c=0的实数根。 交点情况： Δ>0：方程有两个不等实数根，函数图象与x轴有两个交点。 Δ=0：方程有两个相等实数根，函数图象与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。 Δ<0：方程无实数根，函数图象与x轴无交点。 2. 利用图象求方程的近似解 当方程ax +bx+c=0的根不易直接求解时，可通过画出函数y=ax +bx+c的图象，观察其与x轴的交点横坐标，得到近似解。 3. 二次函数与不等式的关系 y>0：对应x的取值范围是函数图象在x轴上方的部分。 y<0：对应x的取值范围是函数图象在x轴下方的部分。 4. 实际应用 如抛物线的最高点（最大高度）、落地点（方程的解）、最优解等问题。 易错点提醒 混淆判别式Δ的作用：误认为Δ仅用于判断方程根的情况，忽略其与函数图象的关系。 忽略a≠0的条件：在讨论二次函数时，未确认二次项系数a≠0。 近似解误差过大：画图不准确导致求得的近似解偏差较大。 符号错误：在分析不等式时，混淆“y>0”和“y<0”对应的x范围。 实际问题忽略限制条件：如时间、长度等物理量未考虑实际意义（如非负性）。 知识点小结 核心思想：二次函数图象与x轴的交点对应一元二次方程的根，判别式Δ决定交点个数。 关键结论： Δ>0→两个交点→方程有两个不等实根。 Δ=0→一个交点→方程有两个相等实根。 Δ<0→无交点→方程无实根。 应用方法： 数形结合：通过函数图象分析方程的解和不等式解集。 实际问题中，先建立函数模型，再结合方程求解。 注意事项： 画图时注意精确性，避免近似解误差过大。 使用判别式前确保方程为标准形式（ax +bx+c=0）。 注：本节是二次函数与方程的综合应用，重点理解图象与方程的关联，掌握数形结合的分析方法，为后续学习二次函数与实际问题奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表： x … -3 -2 -1 0 1 … y … -1 -4 -1 8 23 … 则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（ ） A．-3
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