二次函数中的存在性问题考点题型专项训练 【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求的面积； (2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由． 【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值． 【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和． (1)求抛物线的解析式 (2)①求出当时，y的最大值和最小值； ②如图，抛物线与x轴的左侧交点为C，作直线，D为直线下方抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，作于点M．是否存在点D，使的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为 ... ...
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