11.3.1 两数和乘以这两数的差 课件(共18张PPT)2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

(课件网) 11.3.1 两数和乘以这两数的差 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. 你还记得多项式与多项式是如何相乘的？ (a + b)( m + n) =am +an +bm +bn （1）(x ＋1)( x－1)= ； （2）(m ＋2)( m－2)= ； （3）(2m＋1)(2m－1)= ； （4）(5y ＋z)(5y－z)= . 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 探究 这几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘. (a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2= a2-b2 (a+b) (a-b) =a2-b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做平方差公式. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 = － (a+b)(a－b) a2 b2 b2 a a b b (a-b)(a+b) a2 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： 探究 例1 计算: (1)(a+3)(a-3); (2)(2a+3b)(2a-3b); 解: (1) (a+3)(a-3) =a2-32 =a2-9. 解：(2)(2a+3b)(2a-3b) =(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2. 解：(3) (1+2c)(1-2c) =12-(2c)2 =1-4c2. 解：(4)(-2x-y)(2x-y) =(-y-2x)(-y+2x) =(-y)2-(2x)2 =y2-4x2. (3)(1+2c)(1-2c); (4)(-2x-y)(2x-y). 例1 计算: 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 2.右边是相同项的平方减去相反项的平方； 3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 解：原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 计算： 例2 计算:1998×2002. 解：1998×2002 =(2000-2)(2000+2) =4000000-4 =3999996. =2000 -2 例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解:(a+2)(a-2)=a2-4 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C (1)(a+3b)(a- 3b)； =4x4－y2. =a2－9b2 ； 解：原式=(-2x2 )2－y2 解：原式=a2－(3b)2 (2)(－2x2－y)(－2x2+y). 2.利用平方差公式计算： 3.计算： (1) 51×49; (2)102 × 98. 解: 原式=(50＋1)(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499 解: 102×98 = 1002-22 =10000 – 4 =(100＋2)(100－2) =9996 4.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入，得 原式=2×22-1=7. 5.如图，有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种.过了一年，他对马老汉说∶"我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没吃亏，你看如何 "马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了.同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏 请说明理由. 解∶马老汉吃亏了.理由如下∶ ∵a -(a＋5)(a-5)=a -(a -25)=25, ∴与原来相比，马老汉的土地面积减少了25 m ，即马老汉吃亏了. 注意 内容 两数和乘以 这两数的差 在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2 ... ...