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课件网) 球的内切、外接问题 第八章 立体几何初步 球表面积公式： 球体积公式： 1、截面与球 性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心组卷网 性质3: 球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r ,有下面的关系: A O 例1、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 方法总结：构造直角三角形求半径。 正方体的内切球, 棱切球,外接球 2、正方体与球 设正方体棱长为a,分别求这三种球的半径。 方法： 找截面求线段长！ 练习.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D. A 3、长方体的外接球 长方体的体对角线等于球直径，即 设长方体的长宽高分别为a、b、c,求这外接球的半径。 一般的长方体有内切球吗？ 方法： 找截面求线段长！ 练习 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为_____. O a b c 解： 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 ab= bc= ac= a= ∴ b= 1 c= ∴4R2=a2+b2+c2=9 ∴S球=4πR2=9π 4、棱锥与球 A C B P O 补形法 例2 练习.求棱长为a的正四面体的外接球的半径和内切球半径. 球的内切、外接问题第八章 立体几何初步作业分析： 例 三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝ ，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为 . 补形法 16π 例4 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积. A B C D O E 解：如图所示，作出轴截面，因为△ABC为正三角形， CO1= AC=2,AC=4,AO1=2 , 1 2 Rt△AOE ~ Rt△ACO1, 所以 = OE AO CO1 AC OE=R= 3 2 S= 16π 3 A B C O1 O E O2 截面法 （2）圆锥与球 作业分析： 作业分析： ①内切球 2、若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径. 1、若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高. 5、棱柱、圆柱与球 3、球与圆柱相切———等边圆柱. O O2 C B A a O1 B AO2= ∴R2=AO2=AO22+OO22= OO2= ∴S球=4πR2= ②外接球 截面法 总结：直棱柱外接球半径求法 3、 1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点； 2、球心到底面的距离是侧棱长的一半 r o1 o o2 ● R （1）正棱锥与球 ①内切球 例3 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积． B C D P O E 以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥 ∴ S球=4πr2= V球= πr3= 等体积法 例3 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积． A B C D P O E r r O E P A D F 解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F, PE为斜高D, 过PA,PD作轴截面，交BC边中点E, ∴PD=1,易知 ， S球=4πr2= V球= πr3= 连接OE，OF 由△POF∽△PEO，得 ， 解得r= 截面法 S A B C O1 方法1：补形法 方法2：球心法 A C B P 课堂小结 方法： O R 1.球的表面积、体积公式 2. 球与多面体的内切、外接 结论： 1.正方体的三个球 2.长方体的外接球 3.直棱柱 圆 柱 内切、外接球 4.正棱锥 圆 锥 内切、外接球 5.正四面体内切、外接球 等体积法 补形法 截面法 ... ...
