1.1 多项式的因式分解 素养目标 1.知道因式分解的含义,能说出因式分解与整式乘法的互逆关系. 2.会运用整式乘法的逆运算判断多项式的因式分解结果是否正确. 重点 因式分解概念的理解以及它与整式乘法之间的关系. 【自主预习】 1.哪两个正整数相乘的结果是35 2.说一说多项式的因式分解与多项式的乘法的概念. 3.已知(x-1)(x2+x+1)=x3-1,说一说x3-1的因式有哪些. 1.多项式x2-x的一个因式是 ( ) A.x B.x2-1 C.x+1 D.x2 2.下列各式中,因式分解正确的是 ( ) A.a2+b2=(a+b)(a+b) B.-a2-b2=(-a+b)(-a-b) C.-a2+b2=(-a-b)(-a+b) D.b2-a2=-(a+b)(a-b) 3.若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= . 【合作探究】 知识点一：因式分解的概念 阅读课本本课时“例1”前面的内容,回答下列问题. 1.整数15有因数 和 ,所以15可以分解为 × . 2.由整式的乘法可知,m(a+b+c)=ma+mb+mc,由等式的性质可得ma+mb+mc= . 3.对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,交换等号两边式子的位置,可得a2±2ab+b2= ,a2-b2= .观察这两个式子,可以发现等号左边是一个多项式,等号右边化成了几个整式的 的形式. (1)一般地,对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫作f的一个 .此时,h也是f的一个 . (2)一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的 的形式,称为把这个多项式因式分解. 1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是 ( ) A.6a2b2=3ab·2ab B.2x2+8x-1=2x(x+4)-1 C.a2-3a-4=(a+1)(a-4) D.a2-1=a 【方法归纳】因式分解是对 来说的,结果要以 的形式表示,每个因式必须是 ,等号左右两边是 的. 知识点二：因式分解及其检验 阅读课本本课时“例1”和“例2”,回答下列问题. 1.由“例2”可知,一个多项式因式分解后的结果必须是整式的 的形式. 2.多项式的因式分解与多项式的乘法运算是 的变形过程. 2.检验下列因式分解是否正确. (1)2x2-y2=(2x+y)(2x-y); (2)5x2-3xy+x=x(5x-3y); (3)9x2-6x+1=(3x-1)2. 因式分解与整数乘法的关系及应用 例 观察下列算式: (1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3); (2)x2-4x-5=x2+(1-5)x+1×(-5)=(x+1)(x-5). 请你仿照上述方法,把多项式x2-7x-18分解因式. 变式训练 仔细阅读下面的例题,解答问题. 已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为(x+n), 则x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, 所以 解得n=-7,m=-21, 所以另一个因式为(x-7),m的值为-21. 请仿照以上方法解答下面的问题: 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.5和7,1和35. 2.多项式的因式分解:把一个多项式化成几个多项式的乘积. 多项式的乘法:把几个多项式的乘积化成一个多项式. 3.x-1,x2+x+1. 自学检测 1.A 2.D 3.-2 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.3 5 3 5 2.m(a+b+c) 3.(a±b)2 (a+b)(a-b) 积 归纳总结 (1)因式 因式 (2)乘积 对点训练 1.C 【方法归纳】 多项式 乘积 整式 相等 知识点二 1.乘积 2.互逆 对点训练 2.解:(1)因为(2x+y)(2x-y)=4x2-y2≠2x2-y2, 所以因式分解2x2-y2=(2x+y)(2x-y)不正确. (2)因为x(5x-3y)=5x2-3xy≠5x2-3xy+x, 所以因式分解5x2-3xy+x=x(5x-3y)不正确. (3)因为(3x-1)2=9x2-6x+1, 所以因式分解9x2-6x+1=(3x-1)2正确. 题型精讲 题型 例 解:x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2). 变式训练 解:设另一个因式为(x+a), 则2x2+3x-k=(2x-5)(x+a), 则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a, 所以 解得a=4,k=20, 故另一个因式为(x+4),k的值为20. ... ...
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